- •Часть I: Синхронизация без формул
- •Глава 1 Введение 19
- •Глава 2 Основные понятия: автоколебательная си- стема и ее фаза 49
- •Глава 3 Синхронизация периодических автоколеба- ний внешней силой 72
- •Глава 4 Синхронизация двух и многих осциллято- ров 140
- •Глава 5 Синхронизация хаотических систем 184
- •Глава 6 Экспериментальное исследование синхро- низации 204
- •Часть II: Захват фазы и частоты
- •Глава 7 Синхронизация периодических автоколеба- ний периодическим внешним воздействием 231
- •Глава 8 Взаимная синхронизация двух взаимодей- ствующих периодических осцилляторов .... 286
- •Глава 14 Полная синхронизация II: обобщения и
- •Глава 15 Синхронизация сложной динамики внеш- ним воздействием 429
- •Часть I
- •Глава 1 Введение
- •Глава 2
- •Глава 3
- •3.2.3 Захват последовательностью импульсов
- •3.2.6 Захват фазы и частоты: общий подход
- •3.3.Б Пример: синхронизация песен сверчков
- •3.5.4 Синхронизация плазмодия миксомицета
- •3.6 Явления, близкие к синхронизации
- •Глава 4
- •4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора
- •4.1.3 Пример: частота дыхания и частота взмаха крыльев свободно летящих уток
- •4.1.4 Пример: переход между состояниями с
- •4.4.6 Синхронизация в нейронных системах
- •Глава 5
- •5.1.2 Чувствительность к начальным условиям
- •5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров
- •5.3.4 Синхронизация путем подавления хаоса
- •Глава 6
- •6.2 Анализ данных в «активном» и «пассивном» эксперименте
- •6.3.1 Непосредственный анализ разности фаз. Пример: регуляция позы человека
- •Часть II
- •Глава 7
- •7.1.1 Предельный цикл и фаза автоколебаний
- •7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики
- •7.2 Слабо нелинейные автоколебания
- •7.3 Отображения окружности и кольца
- •7.5 Системы фазовой автоподстройки
- •Глава 8
- •8.2 Слабонелинейные осцилляторы
- •Глава 9
- •9.1 Автоколебания в присутствии шума
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 11. Синхронизация в осциллирующих средах уравнения движения как естественное обобщение уравнения (8.5):
- •11.3.1 Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
- •Глава 12
- •12.3.3 Связанные релаксационные осцилляторы
- •Часть III
- •Глава 13
- •13.2 Устойчивость синхронного режима
- •13.3.1 Возмущение как случайное блуждание
- •Глава 14
- •14.1.3 Глобальная связь (через среднее поле)
- •14.2 Системы с непрерывным временем
- •2 В теории клеточных автоматов эту область называют кластером.
- •Глава 15
7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики
В этом разделе мы подробно показали, что происходит с автоколебаниями под действием слабой периодической силы. В первом порядке по е (амплитуде силы), сила существенно влияет на фазу колебаний, в то время как амплитуда возмущается мало. На плоскости параметров внешнего воздействия и, е (расстройка - амплитуда) существует область синхронизации (7.30), см. рис. 7.4а. Эта область ограничивается двумя прямыми, наклоны которых определяются экстремумами функции q (7.20). Внутри этой области медленная фаза ip принимает устойчивое стационарное значение (или одно из возможных устойчивых значений), и фаза колебаний ф вращается с частотой внешней силы. При этом процесс x(t) периодичен с периодом внешнего воздействия. Вне области синхронизации фаза ф вращается с частотой, отличной от частоты внешней силы, и процесс x(t) в общем случае квазипериодический. Одна из фундаментальных частот - это часто-
Описанная выше картина основана на предположении малости амплитуды е. Ниже мы кратко обсудим, что меняется при средней и большой амплитуде силы; более детальный анализ будет дан в разделе 7.3.
Средняя амплитуда силы
В этом случае качественные характеристики динамики не меняются: внутри области синхронизации наблюдается периодическое движение с периодом внешней силы, а вне этой области - квазипериодическое. Количественно поведение частоты биений на пороге синхронизации - корневая зависимость от параметров (7.35) - остается тем же, поскольку оно определяется типом бифуркации, а бифуркация и при средних амплитудах силы имеет тип седло-узел. Однако остальные характерные черты синхронизации меняются следующим образом.
(і) Границы области синхронизации при средних е - не прямые
0
100
200
время
300
400
Рис. 7.5. Динамика фазы согласно (7.24) при д(ф) = sin?/), е = 1 (здесь параметр е положен равным единице, а не малому значению, что соответствует изменению масштаба времени) и различных значениях расстройки: снизу вверх v = 1.001, 0, —1.01, —1.1.
линии, а, вообще говоря, кривые. Еспи в разложении Фурье (7.18) резонансные члены отсутствуют, то они могут появиться в высших приближениях, т.е. как члены пропорциональные г2, е3, и т.д. В этих случаях ширина области синхронизации особенно мала при е —> 0.
(іі) В синхронном режиме разность фаз осциллятора ф и внешней силы более не является постоянной, как вытекает из (7.31), а становится периодической (с периодом внешней силы) функцией времени. Причиной тому нерезонансные члены в разложении (7.18).
Большая амплитуда силы
Здесь может меняться и качественная картина синхронизации. Переход к ней может происходить через другие бифуркации. Более того, могут наблюдаться сложные режимы, включая хаос - мы обсудим это в разделе 7.3.
Важно отметить, что, хотя мы и рассматривали случай малой силы, синхронизацию нельзя рассматривать в рамках теории линейного отклика. В самом деле, для физика, рассматривающего уравнение (7.5), естественно было бы попробовать применить метод возмущений и представить отклик в виде ряда по е. Мы уже знаем ответ и можем сразу сказать, что этот подход будет работать только вне области синхронизации, где квазипериодическое движение можно примерно представить как комбинацию невозмущенных колебаний на частоте uiq и вынужденного решения с частотой ш. Внутри области синхронизации процесс имеет только частоту ш, так что, формально говоря, отклик на частоте воздействия имеет порядок 0(1) и его нельзя получить разложением по е. Линейная или слабонелинейная теория возмущений не работает потому, что невозмущенные автоколебания в определенном смысле сингулярны, поскольку фаза нейтральна и может испытывать большие, порядка 0(1), отклонения при сколь угодно малой силе. Другим проявлением этой сингулярности служит довольно необычная для физики зависимость наблюдаемой частоты от расстройки: у нее есть идеальный горизонтальный участок с хорошо определенными конечными точками (рис. 7.4Ь). Во многих случаях, когда такие «ступеньки» встречаются в физических задачах, их можно объяснить проявлением синхронизации (см. обсуждение ступенек Шапиро в вольтамперной характеристике контактов Джозефсона в разделе 4.1.8).