- •Часть I: Синхронизация без формул
- •Глава 1 Введение 19
- •Глава 2 Основные понятия: автоколебательная си- стема и ее фаза 49
- •Глава 3 Синхронизация периодических автоколеба- ний внешней силой 72
- •Глава 4 Синхронизация двух и многих осциллято- ров 140
- •Глава 5 Синхронизация хаотических систем 184
- •Глава 6 Экспериментальное исследование синхро- низации 204
- •Часть II: Захват фазы и частоты
- •Глава 7 Синхронизация периодических автоколеба- ний периодическим внешним воздействием 231
- •Глава 8 Взаимная синхронизация двух взаимодей- ствующих периодических осцилляторов .... 286
- •Глава 14 Полная синхронизация II: обобщения и
- •Глава 15 Синхронизация сложной динамики внеш- ним воздействием 429
- •Часть I
- •Глава 1 Введение
- •Глава 2
- •Глава 3
- •3.2.3 Захват последовательностью импульсов
- •3.2.6 Захват фазы и частоты: общий подход
- •3.3.Б Пример: синхронизация песен сверчков
- •3.5.4 Синхронизация плазмодия миксомицета
- •3.6 Явления, близкие к синхронизации
- •Глава 4
- •4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора
- •4.1.3 Пример: частота дыхания и частота взмаха крыльев свободно летящих уток
- •4.1.4 Пример: переход между состояниями с
- •4.4.6 Синхронизация в нейронных системах
- •Глава 5
- •5.1.2 Чувствительность к начальным условиям
- •5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров
- •5.3.4 Синхронизация путем подавления хаоса
- •Глава 6
- •6.2 Анализ данных в «активном» и «пассивном» эксперименте
- •6.3.1 Непосредственный анализ разности фаз. Пример: регуляция позы человека
- •Часть II
- •Глава 7
- •7.1.1 Предельный цикл и фаза автоколебаний
- •7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики
- •7.2 Слабо нелинейные автоколебания
- •7.3 Отображения окружности и кольца
- •7.5 Системы фазовой автоподстройки
- •Глава 8
- •8.2 Слабонелинейные осцилляторы
- •Глава 9
- •9.1 Автоколебания в присутствии шума
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 11. Синхронизация в осциллирующих средах уравнения движения как естественное обобщение уравнения (8.5):
- •11.3.1 Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
- •Глава 12
- •12.3.3 Связанные релаксационные осцилляторы
- •Часть III
- •Глава 13
- •13.2 Устойчивость синхронного режима
- •13.3.1 Возмущение как случайное блуждание
- •Глава 14
- •14.1.3 Глобальная связь (через среднее поле)
- •14.2 Системы с непрерывным временем
- •2 В теории клеточных автоматов эту область называют кластером.
- •Глава 15
Глава 5
Синхронизация хаотических систем
В этой главе мы опишем синхронизацию в хаотических системах. Мы начнем с краткого описания хаотических колебаний в диссипатив-ных динамических системах, обращая особое внимание на свойства, важные с точки зрения возникновения синхронизации. Затем мы опишем различные типы синхронизации: фазовую, полную, обобщенную и т.д. При изучении этих явлений часто обращаются к численному моделированию, поэтому для иллюстрации мы обычно будем использовать результаты расчетов; будут, однако, представлены и экспериментальные данные. Где только возможно, мы постараемся проследить аналогию с синхронизацией периодических автоколебаний.
5.1 Хаотические колебания
Одним из самых важных достижений нелинейной динамики последних десятилетий было открытие сложных, хаотических движений в простых колебательных системах. Теперь это явление подробно исследовано и вошло в программу старших классов школы и первых курсов института; тем не менее, введение в эту тематику представляется не лишним. Термин «хаос» означает, что на больших интервалах времени поведение динамической системы предсказать нельзя, даже если параметры системы не флуктуируют и система не подверже-
на действию шума. Нерегулярность и непредсказуемость вытекают непосредственно из внутренних свойств детерминированной динамики системы, хотя на первый взгляд это утверждение выглядит противоречивым. При представлении хаотических автоколебаний в диссипативной системе в фазовом пространстве выясняется, что им соответствует не такой простой геометрический объект, как предельный цикл, а довольно сложное множество, называемое странным аттрактором (в противоположность предельному циклу - простому аттрактору).
5.1.1 Пример: модель Лоренца
Рис.
5.1. Конвекция вязкой жидкости в тонком
подогреваемом снизу обруче хорошо
описывается системой Лоренца.
Для теоретического описания хаоса нужно составить модель - систему обыкновенных дифференциальных уравнений. До сих пор мы рассматривали только системы на фазовой плоскости, т.е. с двумя независимыми переменными. Два - это минимальная размерность для существования предельного цикла, но ее недостаточно для хаотического движения. Поскольку траектории в фазовом пространстве не пересекаются (это противоречило бы детерминизму - через данную точку фазового пространства может проходить только одна траектория), на фазовой плоскости невозможно получить что-то более сложное, чем предельный цикл. Хаотическая модель должна быть по крайней мере трехмерной, т.е. состояние осциллятора должно задаваться тремя координатами. Модель Лоренца как раз и описывается тремя переменными x,y,z, имеющими следующее физическое значение: х пропорционально горизонтальной разности температур Тз — Ti; у пропорционально скорости потока V; z пропорционально вертикальной разности температур Т4 — Т^. Следуя заголовку этой части, мы не будем приводить здесь сами уравнения (см. часть II, уравнения (10.4)), а просто изобразим на рис. 5.2 полученное численно решение. Зависимости всех переменных от времени представляют собой нерегулярные колебания с переключениями между конвективными движениями по часовой стрелке (отрицательные у) и против часовой стрелки (положительные у).
Мы взяли модель Лоренца как представительный пример хаотических колебаний. Есть много других систем (например, электронные схемы, лазеры, химические реакции), которые демонстрируют хаос и могут быть описаны простыми дифференциальными уравнениями: их описания можно найти в многочисленных книгах о хаосе, см. ссылки в разделе 1.4. Более того, при наблюдении многих естественных процессов можно сделать вывод, что они порождены хаотической динамикой, см. примеры в [Kantz and Schreiber 1997].
Так же как и в случае периодических колебаний, важно различать автоколебания и вынужденные движения. Хаотические автоколебания описываются автономными уравнениями, поэтому все моменты времени эквивалентны. Можно сказать, что они обладают непрерывной симметрией по времени (в смысле независимости динамики от сдвига времени). Есть много примеров хаотических движений в нелинейных системах с периодической внешней силой, они описываются неавтономными уравнениями. Сила в этом случае нарушает непрерывную симметрию по времени и делает ее дискретной (только моменты времени, различающиеся на период или несколько периодов внешней силы, эквивалентны друг другу), см. также аналогичное
обсуждение для периодических колебаний в разделе 2.3.2. Другой популярный класс хаотических моделей - отображения - в этом смысле эквивалентен системам с периодической силой. Здесь симметрия по времени очевидным образом дискретна, так как дискретно само время. Для многих свойств хаоса, в частности для явления полной синхронизации (раздел 5.3), различие между автоколебательными и вынужденными системами не существенно. Однако для фазовой синхронизации хаоса (раздел 5.2) оно является решающим.