- •Часть I: Синхронизация без формул
- •Глава 1 Введение 19
- •Глава 2 Основные понятия: автоколебательная си- стема и ее фаза 49
- •Глава 3 Синхронизация периодических автоколеба- ний внешней силой 72
- •Глава 4 Синхронизация двух и многих осциллято- ров 140
- •Глава 5 Синхронизация хаотических систем 184
- •Глава 6 Экспериментальное исследование синхро- низации 204
- •Часть II: Захват фазы и частоты
- •Глава 7 Синхронизация периодических автоколеба- ний периодическим внешним воздействием 231
- •Глава 8 Взаимная синхронизация двух взаимодей- ствующих периодических осцилляторов .... 286
- •Глава 14 Полная синхронизация II: обобщения и
- •Глава 15 Синхронизация сложной динамики внеш- ним воздействием 429
- •Часть I
- •Глава 1 Введение
- •Глава 2
- •Глава 3
- •3.2.3 Захват последовательностью импульсов
- •3.2.6 Захват фазы и частоты: общий подход
- •3.3.Б Пример: синхронизация песен сверчков
- •3.5.4 Синхронизация плазмодия миксомицета
- •3.6 Явления, близкие к синхронизации
- •Глава 4
- •4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора
- •4.1.3 Пример: частота дыхания и частота взмаха крыльев свободно летящих уток
- •4.1.4 Пример: переход между состояниями с
- •4.4.6 Синхронизация в нейронных системах
- •Глава 5
- •5.1.2 Чувствительность к начальным условиям
- •5.3.1 Полная синхронизация идентичных систем. Пример: синхронизация двух лазеров
- •5.3.4 Синхронизация путем подавления хаоса
- •Глава 6
- •6.2 Анализ данных в «активном» и «пассивном» эксперименте
- •6.3.1 Непосредственный анализ разности фаз. Пример: регуляция позы человека
- •Часть II
- •Глава 7
- •7.1.1 Предельный цикл и фаза автоколебаний
- •7.1.8 Итоги рассмотрения фазовой динамики
- •7.2 Слабо нелинейные автоколебания
- •7.3 Отображения окружности и кольца
- •7.5 Системы фазовой автоподстройки
- •Глава 8
- •8.2 Слабонелинейные осцилляторы
- •Глава 9
- •9.1 Автоколебания в присутствии шума
- •Глава 10
- •Глава 11
- •Глава 11. Синхронизация в осциллирующих средах уравнения движения как естественное обобщение уравнения (8.5):
- •11.3.1 Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау
- •Глава 12
- •12.3.3 Связанные релаксационные осцилляторы
- •Часть III
- •Глава 13
- •13.2 Устойчивость синхронного режима
- •13.3.1 Возмущение как случайное блуждание
- •Глава 14
- •14.1.3 Глобальная связь (через среднее поле)
- •14.2 Системы с непрерывным временем
- •2 В теории клеточных автоматов эту область называют кластером.
- •Глава 15
Глава 4
Синхронизация двух и многих осцилляторов
В главе 3 мы в деталях изучили синхронизацию осциллятора внешней силой. Здесь мы распространяем эти идеи на более сложные случаи, когда взаимодействуют два или несколько осцилляторов.
Мы начнем с рассмотрения двух взаимно связанных автоколебательных систем. Этот случай включает классические эксперименты Гюйгенса, Рэлея и Эпплтона, а также множество других экспериментов и явлений природы. Мы опишем эффекты захвата фаз и частот в таких системах, в том числе в присутствии шумов. Далее мы проиллюстрируем некоторые особенности в синхронизации релаксационных осцилляторов и кратко обсудим случай взаимодействия нескольких осцилляторов. Здесь мы также обсудим свойства синхронизации систем специального класса, а именно ротаторов.
Эта глава также включает обсуждение синхронизации в больших пространственно упорядоченных ансамблях автоколебательных систем (в цепочках и в решетках), а также в непрерывных колебательных средах. Интересным эффектом в таких системах является формирование синхронных кластеров.
Глава продолжается описанием и качественным объяснением самосинхронизации в больших популяциях осцилляторов, связанных каждый с каждым (такая связь называется также глобальной). Один пример такого явления - синхронизация вспышек света, генерируемых популяцией светлячков, - был рассмотрен в главе 1; дальнейшие будут приведены в этой главе. Мы завершаем главу описанием различных экспериментов.
4.1 Взаимная синхронизация автоколебательных систем
В этом разделе мы обсуждаем синхронизацию взаимно связанных осцилляторов. Этот эффект очень близок к случаю синхронизации внешней силой, детально рассмотренному в главе 3. Тем не менее, есть некоторые особенности, которые мы и опишем далее. Мы также кратко обсудим случай взаимодействия нескольких осцилляторов.
4.1.1 Два взаимодействующих осциллятора
Синхронизация была изначально открыта в системе двух связанных осцилляторов. Мы уже описали в главе 1 наблюдения взаимодействующих маятниковых часов Христиааном Гюйгенсом и органных труб лордом Рэлеем. В этом разделе мы объясняем как эти, так и другие эксперименты, используя идеи и понятия, введенные в предыдущих главах. Первым делом мы обсудим подстройку частот.
Захват частот
В общем случае взаимодействие двух систем несимметрично: либо один осциллятор мощнее другого, либо они влияют друг на друга в разной степени, либо и то, и другое. Если воздействие в одном направлении существенно сильнее, чем в другом, то мы вновь имеем дело с частным случаем синхронизации внешней силой. Мы знаем, что в этом случае частота системы подтягивается к частоте воздействия. Основная особенность взаимного воздействия - это то, что меняются частоты обоих осцилляторов. Обозначим частоты автономных систем (часто называемые парциальными) как ші и шг, и пусть uii < и>2] наблюдаемые частоты взаимодействующих осцилляторов мы обозначим как fii^- Тогда, если связь достаточно сильна, то захват частот возникает в результате их взаимной подстройки, так что fii = Ог = где обычно ш\ < О < Ш2, см. рис. 4.1.1
1 Два осциллятора могут быть связаны довольно сложным образом. Так, например, два электронных генератора могут быть связаны через резистор и дополнительно взаимодействовать за счет перекрытия магнитных полей катушек индуктивности. Следовательно, в общем случае связь характеризуется несколькими параметрами. При такой сложной связи частоты в синхронном режиме могут находиться и вне интервала [wi, ш2].
Захват частот предполагает также и существование определенного соотношения между фазами. Это соотношение зависит не только от расстройки частот и силы связи, но также и от способа взаимодействия. Во введении мы упомянули эксперименты с маятниковыми часами, проведенные И. И. Блехманом [1981] с сотрудниками; они наблюдали как синхронизацию часов в противофазе (разность фаз близка к 7г), так и синхронизацию в фазе (разность фаз близка к
CG
(с)
нулю).2 Напомним читателю, что первооткрыватель синхронизации Христиаан Гюйгенс наблюдал синхронизацию в противофазе.
Рассмотрим два почти идентичных симметрично связанных осциллятора. Еспи взаимодействие слабое, то, в полной аналогии со случаем внешней силы, мы можем предположить, что оно влияет лишь на фазы, сдвигая точки вдоль предельных циклов, но не на амплитуды. Взаимодействие зависит некоторым образом от двух фаз, и два простейших случая - это когда связь либо сближает фазы (рис. 4.2а), либо расталкивает их (рис. 4.2Ь). Ясно, что взаимодействие, притягивающее фазы, приводит к синхронизации в фазе, а отталкивающее - к синхронизации в противофазе. Используя те же самые аргументы, что и для случая осциллятора с внешней силой (см. раздел 3.1), приходим к выводу, что расстройка делает разность фаз не в точности нулем (не в точности тт).
2 Двое почти одинаковых часов синхронизуются в противофазе, если собственная частота вибраций балки не сильно отличается от частот часов: в противоположном случае возможны оба режима (см. [Блехман 1971, 1981; Ланда 1980], где эта проблема исследуется аналитически).
Синхронизация высшего порядка
В общем случае, когда частоты несвязанных систем подчиняются соотношению nu>i « ти>2, при достаточно сильной связи возникает синхронизация порядка n : т. Частоты взаимодействующих систем становятся захваченными, n.Qi = mQ,2] устанавливается также соотношение между фазами. Условие захвата фаз может быть сформулировано в виде
\пфі — тфгі < constant, (4.1)
(ср. с уравнением (3.3) для случая осциллятора под действием внешней силы). Фазовый сдвиг между осцилляторами зависит от начальной расстройки между взаимодействующими системами, а также от вида и параметров связи.
4.1.2 Пример: синхронизация триодных генераторов
Е. В. Эпплтон [Appleton 1922] систематически исследован свойства синхронизации триодных генераторов в специально спланированном
] I I
эксперименте. Он изучал как синхронизацию внешней силой, так и взаимную синхронизацию двух связанных неидентичных систем. Схема установки последнего эксперимента показана на рис. 4.3. Каждый генератор состоит из усилителя (вакуумной лампы-триода), колебательного LC-контура и цепи обратной связи, реализованной с помощью второй индуктивности. Эта катушка соединяет выход и вход усилителя, подавая сигнал, пропорциональный колебаниям в LC-контуре сетки лампы.
Есть несколько возможностей связать два триодных генератора. Например, их можно связать через сопротивление. В своих экспериментах Эпплтон разместил катушки индуктивности вблизи друг от друга, так что их магнитные поля перекрывались, и, следовательно, токи в LC-контурах воздействовали друг на друга.
Эксперимент проводился с осцилляторами с низкой частотой ~400 Гц. Частоту одной из систем можно было изменять, подстраивая конденсатор. Влияние расстройки отслеживалось двумя способами. Во-первых, на осциллографе наблюдались фигуры Лиссажу, что свидетельствовало о равенстве наблюдаемых частот в определенном диапазоне расстроек. Фазовый сдвиг между синхронными генераторами также оценивался по фигурам Лиссажу. Во-вторых, измерялась частота биений. Это делалось достаточно простым способом: биения были столь медленны, что Эпплтон мог сосчитать их на слух.
36 40 44 48 52 56 60 шкала конденсатора
Рис. 4.4. Результаты эксперимента со связанными триодными генераторами. Если бы не эффект синхронизации, то частота биений изменялась бы, как показано пунктирной линией. Сплошные линии проведены через экспериментально полученные значения. Область синхронизации показана горизонтальным отрезком жирной линии. Из [Appleton 1922].
Частота биений | Oi — О21 показана на рис. 4.4 как функция показаний регулятора настройки конденсатора (в произвольных единицах), т.е. как функция расстройки.
Отметим, что разность фаз в области синхронизации изменялась от 0 до 7г, принимая значение тт/2 при расстройке, близкой к нулю. Возможное объяснение этому состоит в том, что генераторы в экспериментах Эпплтона были не только расстроены по частоте, но также имели и различные амплитуды, так что один генератор доминировал. Поэтому свойства синхронизации в данной системе очень близки к случаю синхронизации внешней силой.