Прохождение частиц через многобарьерные квантовые структуры
•Отметим, что (9.83) соответствует выражению для расчета прохождения электромагнитных волн через интеферометр Фабри-Перо (рис.9.16). Причем, из геометрической оптики известно, что если
волна, отразившись от пластины Р2 приходит на поверхность пластины Р1 с изменением фазы на 2πN, где N -целое число полуволн, то происходит усиление прошедшей волны вследствие интерференции со следующей приходящей волной. Это означает, что для некоторых длин волн, определяемых расстоянием между пластинами, коэффициент прозрачности системы равен единице.
•В случае симметричной двухбарьерной структуры, когда E1= E3= E5= E и U2= U4= U выражение (9.83) существенно упрощается и принимает вид
|
|
(K |
2 |
+ β |
2 |
2 |
(βL)[2Kβch(βL)cos(KW )−(K |
2 |
− β |
2 |
2 |
2 |
−1 |
|
+ |
|
|
)sh |
|
|
)sh |
(βL)sin(KW )] |
|
||||
D = 1 |
|
|
|
|
|
4K 4 β4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K = 
2mE h, β = 2m(U − E) h,
•Данное выражение соответствует формуле Эйри [7]. Анализ (9.86) показывает, что в случае симметричной двухбарьерной квантовой структуры (ДБКС) коэффициент прохождения оказывается равным
единице, если 1 |
|
1 |
|
= cth(βL) ctg(KW ), |
|
K |
|
||
2 |
η − |
|
|
|
η = |
|
(9.87) |
||
η |
β |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
•Это выражение определяет значения энергии частицы, для которых наступает «резонансное» прохождение ДБКС и отражение полностью отсутствует.
(9.86)
Рис.9.16. Схема интерферометра ФабриПерро:S- иточник света, О1 и О2 - линзы, Р1 и Р2 - плоские пластины, θ - угол падения и
отражения
Прохождение частиц через
многобарьерные квантовые структуры
•Как уже отмечалось, данный эффект является следствием интерференции волн де Бройля, отражающихся от каждой границы Раздела. Конечно, для полного подавления отражения от структуры (R = 0, D = 1) необходимо выполнение определенных фазовых и амплитудных соотношений для интерферирующих волн. При этом фазовые соотношения определяются геометрическими размерами барьеров и КЯ и энергией частицы, а амплитудные - отношением
E/U0.
•Состояния в КЯ, соответствующие значениям энергии, для которых D = 1, называют резонансными, а в случае, когда нужно подчеркнуть возможность ухода частицы из КЯ туннелированием через барьеры их еще называют квазистационарными или метастабильными: Энергетическое положение квазистационарных состояний определяется шириной КЯ и высотой барьеров. Зависимость же их энергетического положения от толщины барьеров L является слабой. Толщина барьеров, в первую очередь, определяет «ширину» квазистационарных уровней, связанную с конечной вероятностью ухода частицы из КЯ.
•Полагая (βL)→ ∞, выражение (9.87) можно представить в виде (9.38). Таким образом, в случае непроницаемых барьеров (9.86) определяет энергетическое положение стационарных состояний в КЯ.
•На рис.9.17 представлена зависимость коэффициента прохождения d от энергии для симметричной двухбарьерной квантовой структуры, рассчитанная по (9.86) с L=W = 3.0нм, m = m0 и U0 =0.1 эВ. Согласно расчетам в данном случае наблюдаются два резонансных пика, в максимуме которых D = 1 . Полуширина (ширина пика на полувысоте) первого пика <0.1 мэВ, полуширина второго пика - на порядок больше, что связано с увеличением вероятности туннелирования частицы из КЯ с увеличением энергии частицы. Здесь же показана зависимость коэффициента прохождения D от энергии частицы для трехбарьерной структуры при тех же параметрах ям и барьеров. В случае трехбарьерной структуры получить простое аналитическое выражение типа (9.86) не удается. Поэтому проводилось численное решение уравнения Шредингера с учетом сшивания волновых функций и их производных на шести границах.
Рис.9.17. Зависимость коэффициента прохождения D через двух- и трехбарьерную структуры от энергии частицы. На вставке показан потенциальный профиль структуры
Прохождение частиц через
многобарьерные квантовые структуры
•Из рис.9.17 видно, что в данном масштабе положение первого пика для двухбарьерной структуры совпало, а второй пик заметно расщепился на два, расположенных по обе стороны от пика, соответствующего двухбарьерной структуре.
•На рис.9.18 в другом масштабе представлены зависимости D от энергии для первого пика трехбарьерной структуры при различной ширине среднего барьера (параметры внешних барьеров и КЯ соответствуют предыдущему случаю).
•Видно значительное влияние ширины среднего барьера на коэффициент прохождения. Согласно расчетам при уменьшении толщины среднего барьера коэффициент D сначала возрастает,
сохраняя форму резонансного пика, затем достигает единицы, когда толщина среднего барьера примерно в 2 раза больше толщин внешних барьеров, а затем расщепляется на два пика, которые удаляются друг от друга (отталкиваются) по мере уменьшения толщины
среднего барьера. При этом провал между пиками углубляется. Такое поведение соответствует изменению дублетного расщепления в системе из КЛ, разделенных туннельно-прозрачным барьером. Заметим, что крайние пики на рис.9.18 соответствуют первому пику на рис.9.17, представленному в другом масштабе.
Рис.9.18. Зависимости коэффициента прохождения от энергии для трехбарьерной структуры:
1 - d=2.5dk, 2 - d=2.15dk, 3 - d=1.9dk,
4 - d=1.5dk, здесь d - ширина среднего барьера, dk- ширина внешних барьеров
Энергетический спектр сверхрешеток
•Рассмотрим прохождение частиц в системе, состоящей из большого числа тонких слоев двух или нескольких материалов, чередующихся в одном направлении (см., например, рис.9.24). Такие системы называют «сверхрешетками» (СР). Реально период повторения в таких системах составляет от единиц до десятков нанометров, что обычно меньше длины свободного пробега электронов, но больше постоянной кристаллической решетки. Изменения потенциала при переходе от одного слоя к другому также имеют периодический характер, сам же потенциал во многих случаях может быть представлен системой чередующихся прямоугольных потенциальных барьеров и КЯ.
•В одномерном приближении прохождение частиц через систему чередующихся прямоугольных потенциальных барьеров может быть рассмотрено в рамках модели Кронига-Пенни. В основу этой модели положена правильная цепочка прямоугольных барьеров и КЯ (рис.9.19). Период СР d в этом случае равен суммарной ширине КЯ и барьера (W + L) Учитывая периодичность потенциала
U(x) = U(x + d) = U(x + 2d) = ...,
решение уравнения Шредингера (9.2) следует искать в виде
• функций Блоха Ψ(x)= u(x) exp(iKx), |
(9.88) |
где u(х) - амплитуда блоховской функции, периодичная с периодом СР d.
•Подставляя (9.88) в (9.2), получим уравнения для функции u(х)
d 2u + 2iK du + (K 2 − K 2 ) u = 0, dx2 dx 1
d 2u + 2iK du + (β2 + K 2 ) u = 0, dx2 dx
0 ≤ x ≤W |
|
(9.89a) |
|
|
|
− L ≤ x ≤ |
0 |
(9.89b) |
|
здесь K1 = 2mE h |
- волновой вектор частицы в области КЯ; |
|
β = 2m(U0 − E) h |
- энергия частицы (0 < Е< U ) |
(9.89c) |
|
0 |
|
Рис.9.19. Одномерный периодический потенциал Кронига-Пенни