Частица в прямоугольной потенциальной яме
•При выращивании пленки узкозонного полупроводника между двумя слоями широкозонного материала может быть реализован потенциальный рельеф, показанный на рис.9.4 и получивший название квантовой ямы.
•В этом случае задача определения стационарных состояний движения электрона сводится к задаче о поведении частицы в прямоугольной потенциальной яме.
•Для асимметричной потенциальной ямы (рис.9.4а) с
<−0.5WU1 x
|
0 |
|
x |
|
< −0.5W |
|
|
|
|
||||
U (x)= |
|
|
(9.36) |
|||
|
|
|
x > +0.5W |
|||
U2 |
|
|
||||
Рис.9.4 - Энергетическая диаграмма прямоугольной потенциальной ямы
при E<U2 |
общие решения уравнения (9.2) в областях 1,2 и 3 (с постоянными значениями потенциала) |
|||
можно представить в виде |
Ψ1(x)= A1 exp(β1x); |
Ψ2 (x)= A2 exp(iKx)+ B2 exp(−iKx)(9.37) |
||
где K = |
2mE h, βj = 2m(U j − E) |
|||
h, j =1,2 |
|
|||
•Решения Ψ1 и Ψ3 записаны с учетом того, что они должны равняться нулю на бесконечности. Сшивая волновые функции и их первые производные при х = ±0.5W, придем к уравнению
K(2 − β1β2) = ctg(KW ),
K β1 + β2
определяющему значения волнового вектора К, удовлетворяющие условиям данной задачи.
• Подставляя β1, и β2 в (9.38), получим трансцендентное уравнение, позволяющее оценить
разрешенные значения К.
KW = nπ −arcsin(K
G1 )−arcsin(K
G2 ),(K
Gj (0,π
2)) Gj = 
2mU j h, j =1,2
(9.38)
(9.39)
Частица в прямоугольной потенциальной яме
•Уравнение (9.39) определяет набор положительных значений волнового вектора Кn и, следовательно, возможные уровни энергии, соответствующие этим состояниям. Таким образом, энергия
En =ħ2Кn2/2m частицы в потенциальной яме оказывается квантованной, принимающей одно из
разрешенных дискретных значений En. Чтобы подчеркнуть это, потенциальные ямы,(особенно узкие) часто называют квантовыми ямами (КЯ).
• Поскольку аргумент арксинуса не может превышать 1, значения К лежат только в интервале |
|
≤ K ≤ G2 |
(3.40) |
•Если WG2 < π, то в КЯ находится не более одного разрешенного энергетического уровня. В общем
случае количество разрешенных энергетических уровней в прямоугольной КЯ можно оценить, |
|
используя неравенство n < {[WG2 + arcsin( U2 U1 )] π + 0.5}< n +1 |
(3.41) |
•Согласно (3.41) при U2 ≠ U1 всегда найдутся столь малые значения WG2 , для которых в КЯ не будет ни одного разрешенного уровня энергии. Заметим, что при U2 = U1 (рис.9.4б) условие (3.41) для n = 1
всегда выполняется. Следовательно, симметричная одномерная потенциальная яма с
произвольными значениями W и U всегда имеет не менее одного разрешенного
энергетического уровня. Более того, если в случае произвольного одномерного потенциала асимптотические значения U(+∞) = U(-∞) и между ними находится один минимум, то всегда имеется, по крайней мере, один связанный уровень. Если же U(+∞) ≠ U(-∞) , то связанного
состояния может и не быть. В случае двух и трех измерений в неглубоких узких потенциальных ямах связанных состояний может не быть даже при U(+∞) = U(-∞) , т.е.
частица не будет "захватываться" ямой. Согласно же классической механике частица может "захватываться" и совершать финитное движение в любой потенциальной яме, лишь бы энергия частицы была достаточно мала.
Частица в прямоугольной потенциальной яме
•Особенно простой вид имеют решения уравнения (9.39) для бесконечно больших значений U2 и U1 . В случае прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками (БПЯ) согласно (9.39)
Kn =π n W , n =1,2,3,...
В этом случае на ширине ямы укладывается целое число длин полуволн де Бройля
2W = KnW = n.
nπ
•При этом разрешенные дискретные уровни энергии частицы определяются соотношением
E |
|
|
h2 |
π |
2 |
n |
2 |
m |
|
|
n |
2 |
[эВ] |
||
n |
= |
|
|
|
|
|
= 0.3737 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||
здесь m0 – масса свободного электрона. |
|
|
2m |
W |
|
|
m |
W (нм) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.42)
(9.43)
(9.44)
•Нормированные волновые функции частицы в состояниях с различными значениями En в этом случае
могут быть представлены в виде |
Ψn (x)= |
2 |
|
πxn |
n = 2k +1 |
|
|
W |
cos |
W |
, |
||
|
|
|
|
(9.45) |
||
|
Ψn (x)= |
2 |
|
πxn |
||
|
n = 2k |
|||||
|
W |
sin |
W |
|
||
|
|
|
|
|
||
•Согласно (9.45) волновая функция основного состояния (состояния с наименьшей энергией) не имеет
нулей внутри квантовой ямы, функция Ψ2 (волновая функция первого возбужденного состояния) имеет один нуль (узел) внутри КЯ, функция Ψ3 имеет два узла и т.д. Аналогичную зависимость
числа узлов волновой функции от номера возбужденного состояния демонстрируют и другие одномерные системы, в которых движение происходи* в ограниченной области пространства.
•В общем случае, когда Uj ≠ ∞разрешенные значения волнового вектора (а следовательно, и энергии) можно найти, решая уравнение (9.39) численно или графически. Однако и в этом случая удается получить ряд соотношений, облегчающих практические оценки.
Частица в прямоугольной потенциальной яме
• Можно показать [4], что Ψ (W 2)= (−1)n−1 |
U |
1 |
U |
2 |
Ψ (−W 2) |
(9.46) |
|||
n |
|
|
|
|
n |
(W + β−1 |
+ β−1 ) |
||
Ψ |
(−W 2)= 2E |
(U L |
|
|
), L = |
||||
n |
n |
|
1 |
эфф |
эфф |
n,1 |
n,2 |
||
•Lэфф – эффективная длина области локализации частицы с энергией En и отражает тот факт, что хотя
частица и локализована преимущественно внутри КЯ, но частично проникает и в области барьеров.
•Раскладывая arcsin в ряд, можно получить выражение для оценки разрешенных значений волнового
πnвектора. Полагая E << U , получим
n |
j |
Kn = |
|
|
|
|
|
W + R1 |
G1 + R2 |
G2 |
(9.47) |
||||
|
|
|
• В первом приближении R1 = R2 = 1. При этом для En /Umin < 0.25 ошибка в оценке Kn по (9.47) будет |
|||
менее 5%. Во втором приближении следует полагать Rj =1 + |
En(1) |
(9.48) |
|
6U j |
|||
|
|
||
здесь E(1)n – энергия n-го уровня, рассчитанная в первом приближении при Rj = 1.При расчете Rj по формуле (9.48) ошибка будет менее 2% для значений En /Umin < 0.3
Частица в симметричной прямоугольной
потенциальной яме
•Для симметричной КЯ (рис.9.4б) волновая функция, соответствующая состояниям положительной четности (n=1,3,5,…), может быть представлена в виде
|
|
An cos(Kn x) |
x |
<W 2 |
|
|
Ψn (x)= |
|
|
x |
>W 2 |
|
|
где |
Cn exp{− βn (x −W 2)} |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
An = |
|
|
|
(K W 2) β W ] |
||
0.5W [1+sin(K W ) K W + 2 cos2 |
||||||
|
|
n |
n |
|
n |
n |
Cn = An cos(KnW 2) |
|
|
|
|
||
(9.48a)
(9.48b)
•Волновая функция, соответствующая состояниям отрицательной четности (n=2,4,6,…),
|
(x)= |
|
Cn exp(βn x), |
x < −W 2 |
(9.48c) |
|||
Ψ |
|
A sin(K |
x), |
x <W 2 |
||||
n |
|
|
n |
n |
|
x), |
|
|
|
|
D exp(− β |
x >W 2 |
|
||||
здесь |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dn = An sin(KnW 2)exp(βnW 2), |
|
||||||
|
|
|
|
Cn = −Dn |
|
(9.48d) |
||
An = i 0.5W [1−sin(K W ) |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
||||||
K W + 2 sin2 (K W 2) β W ] |
||||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
n |