Потенциальный барьер конечной ширины
•Решив систему уравнений (9.19), (9.20), получим для несимметричного барьера (рис. 9.2а)
• |
D = 4K3 K1β2 |
Z; |
(9.21) |
• |
R =1−4K3 K1β 2 |
Z; |
(9.22) |
|
D + R =1;
Z = (K12 + β2 ) (K32 + β 2 ) sh2 (βL)+(K1 + K3 )2 β2
•Отсюда для случая симметричного барьера (рис. 9.2б),
• |
когда K1=K3, |
|
|
sh2 (βL) −1 |
|
|
|||
|
|
D = 1 |
+ |
|
|
|
|
(9.23) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4α(1 −α) |
|
||||
|
|
|
+ |
4α(1 −α) −1 |
(9.24) |
Рис. 9.2. Энергетическая диаграмма |
|||
|
|
R = 1 |
sh |
2 |
|
|
прямоугольного потенциального барьера |
||
|
|
|
|
|
(βL) |
|
|
||
•Анализ выражений (9.21) и (9.22) показывает, что в случае барьера конечной ширины и высоты появляется конечная вероятность частице пройти под барьером, что абсолютно невозможно в классическом случае, так как при E<U0 формально значение кинетической энергии T становится отрицательным: T = E −U0 < 0
•Проникновение частицы с энергией E<U0 через потенциальный барьер - чисто квантовомеханический эффект, что видно из формулы (9.21): если положить в ней ħ =0, получаем D=0. Это явление носит название туннельного эффекта.
•Отметим, что коэффициенты прохождения (9.21) и отражения (9.25) оказываются симметричными по индексам 1 и 3. Это означает, что проницаемость барьера одинакова для потоков, падающих справа и слева. Из уравнения (9.21) также следует, что прошедший поток монотонно стремится к
нулю, если либо К1, либо К3 стремится к нулю. Заметим также, что проведенный анализ и формулы (9.21), (9.22) могут быть распространены и на случай барьера, показанного на рис. 9.2в, путем замены потенциала U2 на - U2.
Интерференционные эффекты при
надбарьерном пролете частиц
• Рассмотрим особенности прохождения частицы над прямоугольным потенциальным барьером (рис.9.2а), когда E > U1 и U2 . Сразу отметим, что надбарьерное прохождение частиц может служить одним из простейших примеров проявления квантовых размерных эффектов. Последние в этом случае приводят к квазипериодической осцилляции коэффициента прохождения частиц при изменении их энергии Е.
• В данном случае решение уравнения Шредингера для всех трех областей будет иметь вид |
|
|||||||||
Ψj (x)= Aj exp(iK j x)+ B2 exp(−iK j x), |
|
j =1,2,3; |
|
K2 = |
2mE2 |
h , где E2 = E1 - U1 |
(9.25) |
|||
• Полагая, как и ранее, что частицы движутся слева направо, в отсутствии рассеяния можно получить |
||||||||||
|
|
D = 4K1K 22K3 |
Z; |
|
|
|
|
(9.26) |
||
|
|
|
R =1 − D; |
|
|
|
|
|
|
(9.27) |
Z = (K 2 |
− K 2 ) (K 2 |
|
L)+ (K |
|
|
|
)2 K 2 ; |
|
||
− K 2 ) sin2 (K |
1 |
+ K |
3 |
|
||||||
1 |
2 |
3 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
||
•Заметим, что выражения (9.26), (9.27) переходят в (9.21),(9.22), если учесть, что K2 = -iβ3.
•В случае симметричного барьера, когда K1 = K2 (рис.9.2б) выражения (9.26) и (9.27) упрощаются и
принимают вид |
|
|
D = [1 +U02 sin2 (K2 L) (4EE2 )]−1 |
(9.28) |
|
R = [1 + 4EE2 |
(U02 sin2 (K2 L))]−1 |
(9.29) |
•Анализ (9.28) и (9.29) показывает, что при изменении энергии частицы Е будут наблюдаться
осцилляции коэффициентов прохождения и отражения. При этом, когда D = Dmax то R = Rmin , и наоборот.
Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете частиц
• Период осцилляции соответствует условию |
(K2 L)= 0, или K2,n L = n π |
(n =1,2,...), (9.30) |
sin2 |
при выполнении которого коэффициент прохождения для частиц с волновым вектором К2,n обращается в единицу. В этом случае для частиц с энергией E2,n = E −U0 (9.31) на ширине барьера L укладывается целое число полуволн де Бройля, и коэффициент отражения равен нулю. Квазиклассически это можно трактовать как результат интерференции волн, отраженных от скачков потенциала на границах барьера. Условие (9.31) можно еще записать в виде
|
h2 |
|
π 2 |
2 |
|
|
E2,n = |
|
|
n |
|
=Vn |
(9.32) |
|
|
|||||
|
2m |
L |
|
|
|
|
•Величина Vn равна энергии n-го уровня частицы, локализованной внутри потенциальной ямы шириной L с бесконечно высокими стенками, т.е. резонансные значения энергии E2,n совпадают с энергией n-го уровня такой ямы.
•При изменении энергии частицы коэффициент прохождения осциллирует, как показано на рис.9.3.
Минимальные значения D = Dmin и соответствующие им значения E’2,n ("антирезонансные" |
|||||||
состояния), можно приближенно оценить из условия |
sin2 (K2 L)=1 |
|
|
||||
• Отсюда |
h2π2 (n + 0.5)2 |
, (n =1,2,...) |
|||||
E2′,n = |
|
|
|
|
|
||
|
|
2mL2 U02 |
|||||
|
|
|
|
−1 |
|||
Dmin = 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
4E2,′ n (U0 |
|
|||||
1-Uo/V1=1 |
|
|
|
+ E2,′ n ) |
|||
2-Uo/V1=2
3-Uo/V1=4
Рис.9.3 – Зависимости коэффициента прохождения над потенциальным барьером от энергии
(9.32)
(9.33)
1.0
Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете частиц
• С ростом резонансного номера n и уменьшением ширины барьера L минимальный коэффициент прохождения Dmjn,n быстро возрастает, так что осцилляции становятся все менее выраженными. Увеличение высоты барьера U0, напротив, уменьшает Dmjn,n, увеличивая амплитуду осцилляции, при этом соответствующие антирезонансные значения E’2,n остаются постоянными (рис.9.3)
• Используя предыдущие рассуждения, можно получить выражение для оценки отношения
концентрации частиц в окрестности точки с координатой 0<х<L (над барьером) к концентрации частиц |
|||||||||||||||||||||||||||
в падающей волне (рис.9.2б) |
|
|
|
|
Ψ2 (x) |
|
2 |
|
|
D{E −U |
|
cos2 [K |
(L − x)]} |
|
|
(9.34) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
||
здесь D определяется (9. 28). |
Q = |
|
|
A |
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
E −U0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
• Согласно (9.34) для частиц, имеющих |
|
1 |
|
энергию Е, удовлетво-ряющую условию (9.30), когда D = Dmax = 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Q |
|
|
|
=1, |
|
|
Q |
|
|
|
L = |
E |
|
=1 + U0 , Q |
|
|
|
=1. |
(9.35) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
E −U0 |
E2 |
|
|
x=L |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
•Следовательно, в данном случае концентрация частиц в области, занимаемой барьером, будет
больше, чем в падающей волне, т.е. несмотря на то, что при E>U0 |
волновая функция электрона |
"размазана" по всему пространству, существуют избранные значения энергии (и импульса) Еn, |
|
при которых вследствие интерференции электронных волн, отраженных от границ |
|
барьера, амплитуда волновой функции в области барьера будет больше, чем в других |
|
областях. |
, |
•Сделанные выводы справедливы и в случае несимметричного барьера (см. рис.9.2 а, в, г). Однако в этом случае Dmax будет меньше единицы, поэтому все эффекты выражены слабее.
•В реальных полупроводниковых структурах наблюдать и тем более использовать на практике квантовые осцилляции вероятности надбарьерного прохождения носителей заряда достаточно трудно, поскольку над барьером могут проходить лишь "горячие" электроны, причем увеличение эффекта за счет (более высоких барьеров требует соответствующего повышения их энергии. Кроме того, уменьшение коэффициента прохождения при увеличении энергии электронов, которое в принципе могло бы привести к появлению падающего участка на вольт-амперной характеристике структуры, реально оказывается либо малым, либо происходит на интервале энергий (30 -50) мэВ, сравнимом с тепловым разбросом при комнатной температуре, и поэтому при температурах выше комнатной сильно размыто [3].