Рассеяние электронов на потенциальной ступеньке
• Физический интерес представляют коэффициенты прохождения и отражения,
определяемые отношением плотностей потоков прошедших и отраженных частиц к плотности потока падающих частиц. Для расчета коэффициентов прохождения D и отражения R воспользуемся понятием вектора плотности потока вероятности j (квантовым аналогом классического вектора j плотности потока частиц). В одномерном случае выражение
для j принимает вид [1] |
|
|
||
j = |
ih |
(Ψ Ψ*' − Ψ* Ψ' ) |
(9.7) |
|
2m |
||||
|
|
|
||
•С учетом (9.5) коэффициент прохождения D (коэффициент прозрачности)
|
D = lim( j(+) |
j(+) ) |
|
|
x→∞ |
2 |
1 |
• Аналогично коэффициент отражения |
R = lim( j(−) |
j(+) ) |
|
x→∞ |
1 |
1 |
|
•С учетом (9.6)-(9.7) величина плотности потока вероятности в области 2:
•Аналогично в области 1
•А от ступеньки отражается плотность потока вероятности
•Окончательно получаем
j2(+) = mh K2 A2 2 j1(+) = mh K1 A1 2 j1(−) = mh K1 B1 2
D = K2 A2 2
K1 A1 2
R = B1 2
A1 2
(9.8)
(9.9)
(9.10)
(9.11),
(9.12)
(9.13)
(9.14)
Рассеяние электронов на потенциальной ступеньке
•Чтобы найти А2 и В1 воспользуемся условиями непрерывности волновой функции и сохранения потока частиц. Так как в нашем случае граница двух сред соответствует х=0, то из этих двух условий с учетом явного вида функций Ψ1(x) и Ψ2(x) получим, что
B1 = A1 (K1 − K2 ) (K1 + K2 ), A2 = A1 2K1 (K1 + K2 ), |
(9.15) |
•откуда с учетом (9.13), (9.14), (9.3) и (9.5) коэффициент прохождения D
D = |
|
|
4K1 K 2 |
= |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
(K1 + K 2 )2 |
|
α (α −1)+ 2 + |
(α −1) α |
|
|
(9.16) |
||||||||||||||||
• и |
R = |
(K1 − K2 )2 |
= ( α − |
α −1)4 |
гдеα = E U |
|
, |
(9.17) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(K1 |
+ K2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
• Плотность потока вероятности частиц при x> 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
j(+) = |
|
|
h |
|
|
|
|
2 |
|
|
4hK |
K 2 |
|
A |
|
2 |
|
|
|
|
(9.18) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
K |
|
|
A |
|
= |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
m(K1 + K2 )2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
m |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
• Полученные результаты сильно отличаются от классических. Согласно классической механике
частица, обладающая энергией Е > U0, всегда проникает в область 2 (при полной потере кинетической энергии в случае E=U0). Согласно же квантовой механике при Е > U0 имеется
конечная вероятность отражения частицы от потенциального барьера, так что в области 1 есть встречный поток отраженных частиц j1(−) = j1(+) − j2(+) , причем отражение будет полным, если E=U0. В любом случае D+R=1. Частицы, движущиеся к барьеру слева, имеют такую же вероятность отразиться от него, что и частицы с той же энергией, движущиеся к барьеру справа. При этом вероятности прохождения и отражения определяются только отношением Е/U0. Смена направления движения приводит к изменению фазы отраженной волны. В нашем случае, для частиц, падающих на ступеньку слева, отражение происходит в фазе с падающей волной, а при движении справа – в противофазе.
Рассеяние электронов на потенциальной ступеньке
• В случае, когда энергия падающей частицы Е > U0, характер решения уравнения (9.5)
радикально меняется. В соответствии с (9.5) К2 становится мнимым и общее решение (9.5) будет не комбинация двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, а совокупность двух монотонных функций
Ψ |
(x)=C exp(β x)+C |
2 |
exp(−β x) |
, где β = 2m(U0 − E) h |
(9.19) |
2 |
1 |
|
|
|
•Учитывая требование конечности волновой функции, (необходимо положить С,=0 (х>0). Таким образом, при
E<U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ (x) |
= C |
2 |
exp(−βx) |
(9.16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
«Сшивая» волновые функции (9.3), (9.16) и их производные при х=0, получим |
|
|
A1 (K1 −iβ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
= |
|
|
(9.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• и |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(K1 +iβ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
= |
|
|
2A1K1 |
(9.18) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(K1 +iβ) |
|
|||||||
• Отметим, что в случае E<U0 амплитуды B1, и С2 - комплексные числа, а коэффициент отражения R равен |
||||||||||||||||||
единице. |
R = |
|
B1 |
2 |
|
|
(K −iβ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
A 2 |
(K1 +iβ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Таким образом, при E<U0 все частицы отражаются от потенциальной ступеньки так, что в области 2 поток
частиц отсутствует. Несмотря на это, в области 2 волновая функция отлична от нуля, т.е. имеется
определенная, хотя и малая, вероятность проникновения частицы внутрь потенциального барьера. В области |
||||||||||||||
x>0 |
|
Ψ |
|
2 = |
|
C |
2 |
|
2 exp(−2βx)= 4α exp(−2βx) |
|
A |
|
2 ≠ 0 частица как бы проходит внутрь потенциального барьера и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
возвращается назад (поток частиц в области 2 отсутствует). При этом между падающей и отраженной волнами |
||||||||||||||
появляется фазовый сдвиг [2] |
∆ϕ = arctg{(2Kβ) (K 2 −β2 )} |
|||||||||||||
•Эффективная глубина проникновения под барьер, на которой вероятность обнаружения частицы еще заметно
отлична от нуля, имеет порядок величины ≈1/β.
•Зависимость коэффициента отражения R от отношения E/U0 показана на рис. 9.1б.
Потенциальный барьер конечной ширины
• В реальной физической ситуации мы всегда имеем дело с барьером конечной ширины. Найдем коэффициенты отражения и прохождения при движении частицы через прямоугольный потенциальный барьер ширины L и высоты U1, в предположении, что энергия частицы
U2<E<U1 (рис. 9.2а).
•Используя полученные в предыдущем разделе результаты, можем сразу записать решение уравнения Шредингера для трех областей (1, 2 и 3):
Ψ1 = A1 exp(iK1x)+ B1 exp(−iK1x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ2 = A2 exp(βx)+ B2 exp(− βx) |
|
|
(9.19) |
|
|
|
|
|
Ψ3 = A3 exp(iK3 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где K1 = 2mE h, β = 2m(U1 − E) h, K2 = 2m(E −U2 ) h |
|
|
Рис. 9.2. Энергетическая диаграмма |
|||||
• При записи уравнений (9.19) учтено, что в области 3 нет |
|
|
||||||
источников частиц и рассеивающих центров, т.е. будет |
|
|
прямоугольного потенциального барьера |
|||||
распространяться только прошедшая волна. |
D = K |
|
A 2 |
K |
|
A ,2 |
R = B 2 |
A 2 |
|
3 |
1 |
||||||
• Подставив (9.19) в (9.13) и (9.14), получим |
|
3 |
|
1 |
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Амплитуды B1 и A3 найдем из системы линейных алгебраических уравнений, полученной с использованием условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе двух
областей. |
A1 + B1 = A2 |
+ B2 ; |
|
|
|
Так, при x=0 имеем |
|
|
|||
|
iK1 (A1 − B1 )= β |
(A2 − B2 ); |
|
(9.19) |
|
при x=L |
A2 exp(βL)+ |
B2 exp(− βL)= A3 exp(iK3 L); |
|||
|
|||||
|
β {A2 exp(βL)− B2 exp(− βL)}=iK3 A3 |
exp(iK3 L); |
(9.20) |
||
|
|
|
|
||
•Решив систему уравнений (9.19), (9.20), получим для несимметричного барьера (рис. 9.2а)