Структура со сдвоенной квантовой ямой
•Отсюда получаем выражение, определяющее спектр разрешенных состояний в данной системе,
|
Kh2 |
= −tg(KW ) |
(9.77) |
|
mα |
||
|
|
|
|
• Анализируя (9.77) в пределе α >> h2 mW и h2 K m |
(последнее неравенство |
||
ограничивает рассмотрение состояний с достаточно низкой энергией) для четных
(симметричных) состояний, получим, что |
|
|
2h |
2 |
|
|
(9.78) |
+ |
|
|
|
|
|
||
En = En∞ 1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
mαW |
|
|||
здесь Еп∞- энергия n-го уровня в КЯ шириной |
|
W (9.44), n=1,2,3,... . |
|
||||
•Для нечетных состояний волновая функция при х=0 должна равняться нулю.
π(9.78)Согласно (9.75) и (9.76) данное условие выполняется, если
•При этом энергия частицы, находящейся в нечетном (антисимметричном)
состоянии будет определяться выражением En− = En∞ |
(9.79) |
т. е. в нечетном состоянии частица как бы «не чувствует» наличия δ-образного потенциала в точке х=0 симметричной системы.
• Сопоставляя (9.78) и (9.79), заметим, что En− = En+ .Именно такое расположение состояний и вытекало из качественного рассмотрения подобной системы.
Прохождение частиц через
многобарьерные квантовые структуры
•Рассматривая поведение частицы (электрона) в системах, содержащих изолированные КЯ и потенциальные барьеры, было установлено, что при туннелировании через одиночный потенциальный барьер коэффициент прохождения D всегда будет меньше единицы. Казалось бы, что при туннелировании через два и более потенциальных барьеров общий коэффициент прохождения должен стать еще меньше. Однако это не всегда так, и в ряде случаев коэффициент прохождения через многобарьерную систему может стать больше коэффициента прохождения через любой барьер этой системы. Данный эффект связан с интерференцией волн де Бройля и также может служить примером проявления квантоворазмерных эффектов.
•Рассмотрим прохождение частицы через систему из двух потенциальных барьеров (рис.9.15). Будем полагать, что потенциальная энергия системы не зависит от времени. Тогда состояния движения частицы через рассматриваемую систему могут быть найдены из решения одномерного уравнения Шредингера (9.2). Для энергий, соответствующих туннелированию частицы через оба барьера, решения (9.2) в областях 1, 3 и 5 можно записать в виде
|
Ψj (x)= Aj exp(iK j x)+ B2 exp(−iK j x), |
j =1,3,5; |
(9.80) |
|
• |
здесь K j = 2mE j h (полагаем, что масса частицы во всех областях одинакова). |
|
||
• |
Для областей 2 и 4 |
|
2m(U j − E j −1 ) h, j = 2,4 |
|
|
Ψj = Aj exp(βx)+ Bj exp(− βx), |
K = 2mE h, βj = |
(9.81) |
|
•Подставляя (9.80) и (9.80) в (9.8), коэффициент прохождения
D представим в виде |
D = |
K5 |
|
A5 |
|
|
2 |
(9.82) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
K |
|
A |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Рис.9.15 - Энергетический профиль двухбарьерной квантовой структуры
Прохождение частиц через многобарьерные квантовые структуры
•Используя в качестве граничных условий равенства волновых функций и их первых производных на каждой границе, с учетом (9.82) получим
D =
где
4K5
K1[F1 cos(K3W )+ F2 cos(K3W )]2 +[F3 cos(K3W )+ F4 cos(K3W )]2
F1
F2
F3
F4
=1 +
=K5
K1
=β2
K1
=β2
K1
K5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β4 |
|
|
K5 |
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
K |
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ch(β2 L2 )ch(β4 L4 )+ |
|
|
β |
2 |
|
|
sh(β2 L2 )sh(β4 L4 ), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
β2 |
|
|
|
|
K3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β4 |
|
K3 |
|
|
|
K5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
K |
3 |
|
β |
2 |
sh(β2 L2 )ch(β |
4 L4 )+ |
K |
3 |
− K |
1 |
β |
4 |
ch(β2 L2 )sh(β4 L4 ), |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
K5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
K5 |
|
|
2 L2 )sh(β4 L4 ), |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
β |
2 |
|
sh(β2 L2 )ch(β4 L4 )+ |
|
β |
|
ch(β |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
β4 |
|
|
|
|
|
K3 |
|
K5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K3 |
|
|
|
|
K5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
sh(β2 L2 )sh(β4 L4 )− |
|
|
+ |
|
|
|
|
ch(β2 L2 )ch(β4 L4 ), |
|||||||||||||||||||
|
K |
2 |
|
|
β |
2 |
β |
4 |
K |
|
|
K |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
(9.83)
(9.84)
Прохождение частиц через
многобарьерные квантовые структуры
•Аналогично можно получить выражение для расчета коэффициента прохождения двухбарьерной структуры, если энергия частицы соответствует интервалу, в котором прохождение частиц происходит под первым барьером, но над вторым. В этом случае коэффициент прохождения удается представить в виде (9.83) с:
F1
F2
F3
F4
=1 +
=K5
K1
=β2
K1
=β2
K1
K5 |
|
|
K4 |
|
K5 |
|
β2 |
|
|||
|
|
+ |
|
|
|||||||
|
|||||||||||
K |
ch(β2 L2 )cos(β4 L4 )+ |
β |
2 |
K |
K |
4 |
sh(β2 L2 )sin(β4 L4 ), |
||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
β2 |
|
K3 |
|
|
|
|
|
|
K4 |
|
|
K3 |
|
|
K5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
β |
|
sh(β2 L2 )cos(β4 L4 )+ |
K |
|
+ |
K |
|
|
|
|
|
ch(β2 L2 )sin(β4 L4 ), |
||||||||||||
K |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
K |
4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
K5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K4 |
|
|
K5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.85) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
β |
2 |
sh(β2 L2 )cos(β4 L4 )− |
K |
|
K |
|
ch(β2 L2 )sin(β4 L4 ), |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
β4 |
|
|
|
|
K3 |
|
K5 |
|
|
|
|
|
|
|
K3 |
|
|
K5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
β |
|
|
|
|
|
sh(β2 L2 )sin(β4 L4 )− |
|
K |
+ |
|
K |
|
|
ch(β2 L2 )cos(β4 L4 ), |
||||||||
|
K |
3 |
|
|
|
2 |
K |
4 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||