10. Средние характеристики рядов динамики

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления за ряд периодов определяют следующие средние показатели динамики:

1. Средний уровень ряда.

2. средний абсолютный прирост.

3. средний темп роста.

4. средний темп прироста.

1.  Средний уровень ряда

Метод расчета среднегодового уровня ряда динамики зависит от вида этого ряда.

а) Для интервального ряда динамики абсолютных показателей средний уровень за период определяется по формуле простой средней арифметической.

где n-число уровней ряда.

В примере темы 9:

т. к. ряд интервальный

б) Для моментального динамического ряда средний уровень определяется двумя способами, в зависимости от величины интервала между датами.

– Когда промежутки между датами одинаковы, то расчет ведется по формуле средней хронологической (полные ряды):

Например, определить размер среднего запаса материалов на складе, если остатки текущего хранения составили: 1.01.–120 т. руб.; 1. 02.– 140 т. руб.;1. 03.–130 т. руб.; 1. 04.–160 т. руб.

тыс. руб.

– Когда промежутки между датами неравные (неполные ряды) вычисляется средняя арифметическая взвешенная; в качестве весов принимается продолжительность промежутков времени между моментами.

Например: Определить средний размер вкладов, если: на 1. 01. он составил 400 тыс. руб.; на 1. 03.–300 тыс. руб.; на 1. 07.–440 тыс. руб.; на 1. 08.–460тыс. руб.

2. Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов. Определяется как средняя арифметическая из цепных абсолютных приростов.

,

где ∑∆У_цi – сумма цепных абсолютных приростов; n – число абсолютных приростов.

А так как сумма абсолютных приростов цепных равна абсолютному приросту базисному последнего периода, то формула среднего абсолютного прироста имеет вид:

где m– число периодов.

Убедимся на примере из темы 9:

3. Средний темп роста определяется по следующей формуле:

, где

Τ_рц – цепные темпы роста, представленные в виде коэффициента;

n– число цепных темпов роста, а т. к., исходя из взаимосвязи цепных и базисных темпов роста, мы знаем, что произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста последнего периода, то формула среднего прироста примет вид:

, где m–число периодов.

Разберем на примере из темы 9:

4. Средний темп прироста определяется по единственной методике на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста.

или

В примере из темы 9:

Если при расчете среднего темпа роста важно обеспечить не только конечный уровень, но и суммарное значение исследуемого показателя за анализируемый период, то

- средняя параболическая

-средний параболический коэффициент.

Контрольные вопросы к теме:

1. Как вычисляется средний уровень для интервального и моментного рядя динамики.

2. Что такое средний абсолютный прирост и как его вычислить.

3. Расскажите способы вычисления среднего темпа роста.

4. Расскажите способы вычисления среднего темпа прироста.

11. Показатели вариации

11.1. Абсолютные показатели вариации

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Она возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются под влиянием разнообразных факторов.

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Показатели вариации могут быть:

1. абсолютными:

а ) размах;

б) среднее линейное отклонение;

в) средний квадрат отклонений или дисперсия;

г) среднее квадратическое отклонение.

2. относительными:

а) коэффициент осцилляции;

б) относительное линейное отклонение;

в) коэффициент вариации.

Абсолютные показатели вариации:

Наиболее простой показатель – размах вариации (R), определяемый как разность между наибольшим (X_max) и наименьшим (X_min) значениями вариантов:

R = X_max − X_min

Задача 1

Известны данные по региону А об объеме товарооборота предприятий (данные условные).

Рассмотрим колеблемость показателей товарооборота в среднем на одно предприятие для уяснения расчетов показателей вариации.

Группы предприятий по объему товарооборота, млн. руб.	Число предприятий	Расчетные показатели
90–100	28	95	2660	10	280	100	2800	9025	252700
100–110	48	105	5040	0	0	0	0	11025	529200
110–120	20	115	2300	10	200	100	2000	13225	264500
120 –130	4	125	500	20	80	400	1600	15625	62500
ИТОГО	100		10500		560		6400		1108900

Средний объем товарооборота на одно предприятие равен:

млн  руб.

Показатель размаха вариации составил: R = 130 – 90 = 40 млн.руб.

Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонения всех вариант в ряду. Однако безусловным достоинством этого показателя является простота вычисления.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределения отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение (),которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности. Оно определяется как среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений.

, или

В нашем примере:

млн руб.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (δ²) – средний квадрат отклонений, определяемый, как средняя из отклонений, возведенных в квадрат :

Корень квадратный из дисперсии δ² среднего квадрата отклонений представляет собой среднее квадратическое отклонение:

млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя отражает собой всю представляемую совокупность.

Различают: − дисперсия признака по всей изучаемой совокупности;

−межгрупповая дисперсия – это мера колеблемости частных средних по группами вокруг общей средней;

−внутригрупповая дисперсия – это вариация, обусловленная влиянием прочих факторов.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

_.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

, где

x_i и n_i - соответственно средние и численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий

.

Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют упростить расчеты:

1. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии.

– Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится.

– Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А раз, а среднее квадратическое отклонение в А раз:

Дисперсия равна разности средней из квадратов значений признака и квадрата средней арифметической (способ моментов).

или

В примере:

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение являются величинами именованными и имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.