КИМ6
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.36.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
|
6x +1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x2 +4x +5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−11arctg(x + 2)+c 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответы: 1). − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+c |
|
|||||||||||||||||||
x2 + 4x +5 |
x2 +4x +5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3). |
3 |
|
+arctg(x + 2)+c |
4). |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
−arctg(x + 2)+c |
||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + 4x +5 |
|
|
x2 + 4x +5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5). |
3 |
|
+11arctg(x + 2)+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x2 + 4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.37.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
|
|
4x +3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(x2 + 2x +10)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x +1 |
|
|
|||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
|
|
|
|
|
+c |
2). − |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
arctg |
+c |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 + 2x +10 |
|
|
|
|
x2 +2x +10 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3). |
2 |
|
|
|
|
|
+arctg x +1 |
+c |
4). |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−arctg x +1 +c |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x +10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 + 2x +10 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
5). |
2 |
|
|
|
|
+ |
1 arctg x +1 +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 + 2x +10 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.38.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
|
5 −2x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x2 +6x +13)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы: 1). |
|
1 |
|
|
+ |
11arctg x +3 |
+c |
2). |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
+c |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 +6x +13 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 +6x +13 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3). |
|
1 |
|
|
|
|
|
+arctg x +3 |
+c |
4). |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−arctg x +3 |
+c |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +6x +13 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 +6x +13 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
5). |
1 |
|
|
|
|
|
− |
11arctg x +3 |
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 +6x +13 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.39.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
|
3 −4x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x2 +8x +17)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответы: 1). |
|
|
|
−arctg(x + 4)+c |
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+c |
|
||||||||||||||||||||||
|
x2 +8x +17 |
|
x2 +8x +17 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3). |
2 |
|
|
|
+arctg(x + 4)+c |
4). |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+19arctg(x +4)+c |
||||||||||||||||||||||||
x2 +8x +17 |
|
|
x2 +8x +17 |
42
|
5). |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−19arctg(x + 4)+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 +8x +17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
Номер: 4.40.B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
|
|
|
−1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 −5x2 +6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответы: 1). − 1 ln |
|
x |
|
− |
7 ln |
|
x −2 |
|
+ |
17 ln |
|
x −3 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2). |
1 |
ln |
|
x |
|
− |
|
7 |
ln |
|
x −2 |
|
+ |
|
17 |
|
ln |
|
|
x −3 |
|
|
+c |
|
|
3). |
1 |
ln |
|
x |
|
+ |
7 |
|
ln |
|
x −2 |
|
+ |
|
17 |
ln |
|
x −3 |
|
+c |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4). |
1 |
ln |
|
x |
|
− |
|
7 |
ln |
|
x −2 |
|
− |
17 |
ln |
|
x −3 |
|
+c |
|
|
5). − |
1 |
ln |
|
x |
|
+ |
|
7 |
ln |
|
x −2 |
|
+ |
17 |
ln |
|
x −3 |
|
+c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.41.B
Задача: Найти интеграл ∫ |
3x2 +2x −1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −1)2 (x + |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x −1 |
|
+ |
|
|
|
ln |
|
x +2 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3(1−x) |
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2). |
4 |
+ |
|
20 |
ln |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
− |
7 |
ln |
|
|
|
|
x |
+2 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3(x −1) |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
+ |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
+ |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3). |
|
|
9 |
ln |
|
|
|
9 ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3(1−x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4). |
4 |
− |
|
20 |
ln |
|
|
x −1 |
|
|
− |
|
7 |
ln |
|
|
x |
+2 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3(x −1) |
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5). |
4 |
− |
|
20 |
ln |
|
|
x −1 |
|
|
− |
|
7 |
ln |
|
|
x |
+2 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3(1−x) |
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.42.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответы: 1). x + |
ln |
|
|
|
|
|
−arctgx +c |
|
|
|
|
2). x − |
|
|
|
|
|
−arctgx +c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
x +1 |
|
|
|
|
|
x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3). x − |
1 ln |
|
|
x −1 |
|
+arctgx +c |
|
|
|
|
4). x + |
1 ln |
|
|
x −1 |
|
|
+arctgx +c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
|
|
|
|
x +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x −1 |
|
|
−2arctgx +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5). ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.43.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
x2 +4x + |
4 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответы: 1) 3ln |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
+4 ln |
|
|
|
x −1 |
|
+ |
|
|
|
9 |
|
+c |
2). 4 ln |
|
|
x |
|
|
|
+3ln |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
− |
9 |
|
+c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
−1 |
x −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3). 4 ln |
|
|
x |
|
|
|
+3ln |
|
x −1 |
|
+ |
|
|
|
9 |
|
+c |
4). 3ln |
|
x |
|
|
+4 ln |
|
x −1 |
|
− |
9 |
|
+c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x −1 |
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5). 4ln |
|
x |
|
|
|
−3ln |
|
x −1 |
|
− |
|
|
|
9 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
Номер: 4.44.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). x + |
1 ln |
|
|
|
|
− |
|
|
1 arctgx +c |
2). x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
arctgx +c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x +1 |
2 |
x +1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3). x − |
1 |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
− |
|
1 |
|
arctgx +c |
4). x − |
1 |
ln |
|
|
x −1 |
|
|
|
+ |
|
1 |
arctgx +c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
x +1 |
2 |
4 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5). x + |
1 |
|
x −1 |
|
+ |
|
|
1 |
arctgx +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.45.С
x3 +x +1
Задача: Найти интеграл ∫ ( 2 )dx x x +1
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2). x −ln |
|
x |
|
+c |
3). x +ln |
x |
+c |
|||||||||||
Ответы: 1). |
x +ln |
|
|
|
|
|
|
+c |
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
+ x2 |
|
|
|
1+ x2 |
+x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4). |
x −ln |
|
|
|
|
+c |
5). −x +ln |
|
|
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
+x2 |
|
|
|
|
1+x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.46.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
x4 |
−6x3 +12x2 +6 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x3 |
−6x2 +12x −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
x2 |
11 |
8 |
|
|
|
|
||||||||||||
Ответы: 1). |
2 − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
+c |
2). |
|
2 − |
|
|
+ |
|
|
|
+c |
|
|
|||||||||||||
(x −2)2 |
|
|
|
x −2 |
|
(x −2)2 |
|
x −2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
x2 |
11 |
8 |
|
|
|
|
||||||||||||
3). |
2 + |
|
− |
|
+c |
4). |
2 + |
|
|
|
+ |
|
+c |
|
|
||||||||||||||||||||
(x −2)2 |
x −2 |
|
(x −2)2 |
|
x −2 |
|
|
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(x −2)2 |
2 |
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.47.С |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
5x3 +9x2 −22x −8 |
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответы: 1). 5x +2ln |
|
x |
|
+ 4ln |
|
x + 2 |
|
+ln |
|
x −2 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2). 5x +ln |
|
x |
|
+4ln |
|
x + 2 |
|
+3ln |
|
x −2 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3). 5x +2ln |
|
|
x |
|
|
|
+2ln |
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
+3ln |
|
|
|
x −2 |
|
|
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4). 5x +2ln |
|
|
x |
|
|
|
+4ln |
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
+3ln |
|
|
|
x −2 |
|
|
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5). 5x −2 ln |
|
x |
|
+4 ln |
|
x +2 |
|
|
+3ln |
|
x −2 |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
Номер: 4.48.С |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
(x +1)(x2 +1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответы: 1). |
|
2(x2 +1)−2arctgx +ln |
|
|
|
x2 +1 +c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
x +1 |
|
||||||||||||||||||||
2). |
x2 +1 +2arctgx +ln |
x2 +1 |
+c |
|
|
|
|
3). |
2(x2 +1)+ 2arctgx +ln |
4 x2 +1 |
+c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
x +1 |
|
|||||||||||||||||||||
4). |
2(x2 +1) |
|
−2arctgx +ln 4 x2 +1 +c 5). |
2(x2 +1)−2arctgx −ln |
x2 +1 |
+c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.49.С |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
1)dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ (x2 + x +2)(x2 +4x +5) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
2 |
7 |
arctg 2x +1 |
|
− 1 arctg(x +2)+c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
||||||||||||
2). |
2 |
arctg |
|
2x +1 |
− |
1 arctg(x +2)+c |
3). |
|
|
2 |
arctg |
−arctg(x +2)+c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
4). |
2 |
arctg |
|
2x +1 |
+ |
|
1 arctg(x + |
2)+c |
5). |
|
|
2 |
arctg |
2x +1 |
+arctg(x +2)+c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 4.50.С |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
x4 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 − x |
2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
45
Ответы: 1). |
(x +1)2 −ln |
|
x −1 |
|
+ |
1 |
ln(x2 +1)+c |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
(x +1)2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2). |
+ln |
|
x −1 |
|
+ |
|
1 ln(x2 |
+1)−arctgx +c |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3). |
(x +1)2 |
+ln |
|
|
x −1 |
|
|
− |
1 |
ln(x2 |
+1)−arctgx +c |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4). |
(x +1)2 |
−ln |
|
x −1 |
|
− |
|
1 |
ln(x2 |
+1)+c |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5). |
(x +1)2 |
+ln |
|
x −1 |
|
− |
1 |
ln(x2 |
+1)+arctgx +c |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Интегралы вида ∫R(sin x;cos x)dx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.1.А |
|
|
|
|
||||
Задача: Найти интеграл ∫sin 2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
x |
+ |
|
1 |
|
|
sin 2x +c |
|
|
2). x + |
1 sin 2x +c |
3). x |
− |
1 sin 2x +c |
||||||||||||||||||
4 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|||||||||
4). |
|
x |
|
− |
|
|
1 |
|
sin 2x +c |
|
|
|
5). x − |
1 |
sin 2x +c |
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.2.А |
|
|
|
|
||||
Задача: Найти интеграл ∫3sin3 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). cos3 x −3cos x +c |
2). 3cos x −sin3 x +c |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3). 3cos3 x +3cos x +c |
4). cos3 x +3cos x +c |
5). cos3 x +3sin x +c |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.3.В |
|
|
|
|
||||
Задача: Найти интеграл ∫sin4 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
1 |
|
sin 2x + |
1 |
sin 4x +c |
2). 1 sin 2x + |
1 |
sin 4x +c |
||||||||||||||||||||||||
4 |
|
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
3). |
|
3 |
x |
+ |
1 |
sin 2x |
+ |
|
sin 4x +c 4). |
1 |
sin 2x − |
cos 4x +c |
|||||||||||||||||||||
4 |
|
|
32 |
|
32 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5). |
3 |
x − |
1 |
sin 2x + |
|
1 |
sin 4x +c |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
8 |
|
32 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.4.А |
|
|
|
|
||||
Задача: Найти интеграл ∫4cos2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). 2x +sin 2x +c |
|
|
2). x +2sin 2x +c |
3). 2x −sin 2x +c |
|||||||||||||||||||||||||||||
4). x +cos 2x +c |
|
|
|
5). x −2sin 2x +c |
|
|
|
|
Номер: 5.5.А Задача: Найти интеграл ∫3cos3 xdx
Ответы: 1). sin x −sin3 x +c |
2). 3cos x −cos3 x +c 3). 3sin x −sin3 x +c |
||||||||
4). sin x +3sin3 x +c |
5). 3sin x +cos3 x +c |
||||||||
|
|
|
|
|
Номер: 5.6.В |
||||
Задача: Найти интеграл ∫cos4 xdx |
|
|
|||||||
Ответы: 1). |
1 |
cos 2x + |
1 |
sin 4x +c 2). |
x |
+ |
1 |
sin 4x +c |
|
|
32 |
|
32 |
||||||
4 |
|
|
8 |
|
|
47
3). |
|
3 |
x − |
1 |
sin 2x + |
1 |
|
sin 4x +c |
4). |
|
3 |
|
x + |
1 |
sin 2x + |
1 |
sin 4x +c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
4 |
32 |
|
|
32 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5). |
|
3 |
x − |
1 |
sin 2x − |
|
1 |
sin 4x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
8 |
4 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.7.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫sin5 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
4 |
sin3 x − 1 sin x cos4 x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2). |
|
cos3 x − |
|
1 sin4 x cos x − |
4 cos x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3). |
|
4 |
|
cos3 x + |
|
1 sin4 x cos x + |
4 cos x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4). |
|
4 |
|
sin3 x + |
1 |
sin4 x cos x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
15 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5). |
|
4 |
|
cos3 x + |
1 |
sin x cos4 x + |
4 |
cos x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.8.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫cos5 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
4 |
|
sin x + |
|
4 |
sin3 x + |
1 sin x cos4 x +c |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
15 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin x cos4 x − |
|
|||||||||||||||||||||
2). |
|
|
sin3 x + |
1 sin x cos4 x +c |
3). |
|
cos3 x + |
4 sin x +c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
15 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||
4). |
|
4 sin x + |
|
1 sin x cos4 x +c |
|
|
|
|
5). |
4 sin x − |
4 |
sin3 x + 1 sin x cos4 x +c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
15 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.9.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫sin2 x cos3 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
1 sin5 x +sin3 x +c |
|
2). − |
1 |
sin5 x + |
1 |
sin3 x + c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 cos5 x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
3). |
|
+ 1 cos3 x +c 4). |
sin5 x − |
sin3 x +c |
5). |
sin5 x −sin3 x +c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.10.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫sin3 x cos2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
1 |
cos5 x − |
1 |
cos3 x +c |
2). |
|
|
1 |
cos5 x + |
1 |
cos3 x +c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
48
3). |
|
1 |
cos5 x + |
|
1 |
|
sin3 x +c |
|
|
4). − |
1 |
|
cos5 x − |
1 |
cos3 x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5). |
|
1 |
sin5 x + |
1 |
sin3 x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.11.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫sin3 x cos3 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
1 |
|
|
cos 6x − |
3 |
|
cos 2x +c |
2). |
|
|
1 |
|
|
cos 6x − |
3 |
|
|
cos 2x +c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
64 |
|
192 |
|
64 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3). |
|
1 |
|
cos 6x − |
3 |
|
|
cos 2x +c |
|
|
|
4). |
|
|
|
1 |
cos 6x − |
3 |
cos 2x +c |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 |
16 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5). |
|
1 |
cos 6x − |
|
|
3 |
cos 2x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.12.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫sin2 x cos4 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
x |
|
− |
1 |
|
|
sin 2x + |
|
1 |
|
|
sin 4x − |
|
1 |
|
|
|
sin 6x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
64 |
|
64 |
|
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2). |
|
x |
|
− |
1 |
|
sin 4x − |
|
|
1 |
|
sin 6x +c |
|
|
|
3). |
|
x |
|
+ |
1 |
|
sin 2x + |
1 |
|
|
sin 4x +c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
64 |
|
192 |
|
|
|
16 |
|
|
|
64 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4). |
|
x |
|
+ |
1 |
|
sin 2x − |
|
|
1 |
sin 4x − |
|
|
1 |
|
|
|
|
sin 6x +c |
5). |
x |
|
− |
|
1 |
sin 2x + |
|
1 |
sin 6x +c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
64 |
|
|
|
64 |
192 |
|
64 |
192 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.13.С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫sin4 x cos2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). |
|
x |
|
− |
1 |
|
|
sin 2x − |
|
1 |
|
|
sin 4x + |
|
1 |
|
|
|
sin 6x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
64 |
|
64 |
|
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2). x − |
1 |
sin 2x − |
|
1 |
sin 4x + |
|
|
1 |
sin 6x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3). |
|
x |
|
+ |
1 |
|
sin 2x − |
|
|
1 |
sin 4x + |
|
|
1 |
|
|
|
|
sin 6x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
64 |
|
|
|
64 |
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4). |
|
x |
|
− |
1 |
|
sin 2x + |
|
|
1 |
sin 4x + |
|
|
1 |
|
|
|
|
sin 6x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
64 |
|
|
|
64 |
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5). |
|
x |
|
− |
1 |
|
sin 2x + |
|
|
1 |
sin 4x − |
|
|
1 |
|
|
|
|
sin 6x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
64 |
|
|
|
64 |
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Номер: 5.14.А
Задача: Найти интеграл ∫sindxx
Ответы: 1). |
|
2 ln |
tg |
x |
|
+c |
2). ln |
ctg |
x |
|
+c |
3). ln |
|
tg x |
|
+c |
4). 2 ln |
ctg |
x |
|
+c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
5). |
1 |
ln |
|
tg |
x |
|
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.15.В
Задача: Найти интеграл ∫sindx3 x
Ответы: |
1). |
|
|
|
cos x |
+ln |
tg |
x |
|
|
+c |
2). |
|
− |
|
|
cos x |
|
+ |
|
1 |
ln |
tg |
x |
|
+c |
|
|
3). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 sin2 x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin2 x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
+ |
|
x |
|
|
+c |
|
4). − |
|
|
sin x |
|
+ln |
|
tg |
x |
|
+c |
|
|
|
|
cos x |
|
|
−ln |
|
tg |
x |
|
+c |
||||||||||||||||||||||||||
|
ln |
tg |
|
|
|
|
|
5). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 cos2 x |
2 |
|
|
|
2 cos2 |
|
|
|
|
2 sin2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
Номер: 5.16.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sin4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответы: 1). ctg3x +3ctgx +c |
|
|
2). −ctg3x −3ctgx +c |
3). |
|
ctg3x −ctgx +c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5). − 1 ctg3x −ctgx +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4). |
ctg3x +ctgx +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
Номер: 5.17.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответы: 1). ln tg |
2 |
+c |
|
2). ln tg |
|
− |
|
|
+c 3). |
ln ctg |
+ |
|
|
+c |
4). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ln ctg |
|
− |
4 |
+c |
5). |
ln tg |
|
+ x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.18.В
Задача: Найти интеграл ∫ cosdx3 x
|
sin x |
+ |
1 |
π |
+ |
x |
|
+c |
|
1 |
π |
+ |
x |
|
+c |
|||
Ответы: 1). |
|
|
ln tg |
|
|
|
2). |
|
ln tg |
|
|
|
||||||
2cos2 x |
2 |
4 |
2 |
4 |
4 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
|
|
cos x |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3). |
|
|
|
|
+ln tg |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+c |
|
|
4). |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
ln tg |
|
+ |
|
|
|
+c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 cos2 x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 sin2 x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5). |
|
|
|
|
−ln tg |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 sin2 x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
Номер: 5.19.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответы: 1). cos x −ln tg |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+c 2). sin x +ln tg |
|
+ |
|
|
|
|
|
+c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3). |
−sin x −ln tg |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
4). cos x +ln tg |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5). |
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ |
|
|
x |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
−sin x +ln tg |
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 x |
|
Номер: 5.20.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответы: 1). cos2 x −ln |
|
cos x |
|
+c |
2). |
|
cos2 x +ln |
|
cos x |
|
+c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3). |
|
x −ln |
|
cos x |
|
+c |
|
|
|
|
4). cos2 x +ln |
|
cos x |
|
|
+c |
|
|
5). sin2 x +ln |
|
cos x |
|
+c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер: 5.21.А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫tg2 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы: 1). x −ctgx +c |
|
|
|
|
2). ctgx +x +c |
3). x +tgx +c |
4). tgx −x +c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5). 2x −tgx +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin4 |
|
|
Номер: 5.22.В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Задача: Найти интеграл ∫ |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответы: 1). tgx − |
|
sin 2x − |
3 |
|
x +c |
|
2). ctgx + |
sin 2x − |
3 |
x +c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3). ctgx − |
1 |
sin 2x − |
|
3 |
x +c |
|
4). tgx + |
|
|
|
1 |
sin x cos x − |
3 |
x +c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
5). tgx + |
1 |
sin 2x + |
|
3 |
x +c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51