- •В. Н. Веретенников
- •ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •Учебное пособие
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •Биография
- •Увековечение памяти
- •Научные достижения
- •Математика
- •Точка Торричелли
- •Механика
- •Атмосферное давление и первый барометр
- •Гидравлика
- •Изобретения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача Коши
- •Общее и частное решения уравнения.
- •Итак, чтобы найти особые решения уравнения (2.2), надо
- •Геометрический смысл уравнения.
- •2.4. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2.5. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Биография
- •Научная деятельность
- •Биография
- •Метод вариации постоянной (Лагранжа).
- •Уравнения Бернулли.
- •3. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Уравнения 2 - го порядка, допускающие понижение порядка
- •3.2.2. Уравнение вида
- •3.2.3. Уравнение вида
- •4. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •5. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •5.1. Свойства решений однородного линейного уравнения
- •5.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций
- •Биография
- •Философские воззрения
- •Научные достижения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
dy |
dz |
|
dy |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ = |
|
(y ) |
|
|
|
d(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
dx |
= dy |
dx |
= dy z(y) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Подставляя в уравнение выражения для y′ и y′′, получаем уравнение 1-го порядка отно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сительно z как функции |
от y : |
|
z |
dz |
= f (y; z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая его, найдем z =ϕ(y; C1 ) |
. Т. к. |
|
z = dy , то |
dy |
|
=ϕ(y; C1 ) . Отсюда |
|
|
dy |
= dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
ϕ(y; C1 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Получено уравнение с разделенными переменными, из которого находим общее реше- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние данного уравнения: |
|
dy |
|
|
= x |
+ C |
|
|
, где |
C и |
C |
|
|
|
− произвольные постоянные. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ϕ(y; C1 ) |
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Пример 2.3. Найти общее решение уравнения yy |
′′ |
|
− |
|
′ |
2 |
= |
0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(y ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
▲ Полагая y′ = z, y′′ = z dz , получим yz dz −2z2 = 0 |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z y dz |
−2z = 0 . Это дифференци- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
альное уравнение 1-го порядка распадается на два: z = 0, y dz −2z = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Первое из них дает y′ = 0 , т. е. |
|
y = C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Во втором переменные отделяются: |
|
dz = 2 dy , откуда, интегрируя, имеем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
z |
|
=2ln |
|
y |
|
+ln |
|
C |
|
, т.е. z = C y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вспоминая, что |
z = dy |
, |
получаем |
|
|
|
dy = C dx , |
|
|
откуда |
|
получаем искомое |
решение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
= C x +C |
2 |
, т. е. (заменяя C и |
C |
2 |
|
на −C и |
−C |
2 |
) y = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1x +C2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Кстатисказать,найденноераньшерешение y = C содержитсявнайденномрешении,ибо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получается из него при C1 = 0 . ▼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Дифференциальные уравнения высших порядков |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ограничимся только основными определениями и общими замечаниями, относящимися |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
к дифференциальным уравнениям n-го порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение n-го порядка |
|
|
|
′ |
y |
(n) |
) = 0 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F(x; y; y ; ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если оно разрешено относительно старшей производной, имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(n) |
= f (x; y; y |
′ |
|
y |
(n−1) |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема существования и единственности решения уравнения (4.1) аналогична соответствующим теоремам, приведенным ранее для случаев n =1 и n = 2 .
Общее решение уравнения (4.1) зависит от x и n произвольных постоянных и может
быть записано в виде y =ϕ(x; C1 ; C2 ; ; Cn ) .
Решения, получающиеся из общего решения при определенных значениях постоянных C1 , C2 , , Cn , называются частными решениями уравнения (4.1). Чтобы выделить частное
решение уравнения из общего (4.1), можно задать начальные условия
y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′, y′′(x0 ) = y0′′, , y(n−1) (x0 ) = y0(n−1) . |
(4.2) |
Отыскание решения уравнения (4.1), удовлетворяющего начальным условиям (4.2), называется решением задачи Коши для этого уравнения.
26