- •В. Н. Веретенников
- •ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •Учебное пособие
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •Биография
- •Увековечение памяти
- •Научные достижения
- •Математика
- •Точка Торричелли
- •Механика
- •Атмосферное давление и первый барометр
- •Гидравлика
- •Изобретения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача Коши
- •Общее и частное решения уравнения.
- •Итак, чтобы найти особые решения уравнения (2.2), надо
- •Геометрический смысл уравнения.
- •2.4. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2.5. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Биография
- •Научная деятельность
- •Биография
- •Метод вариации постоянной (Лагранжа).
- •Уравнения Бернулли.
- •3. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Уравнения 2 - го порядка, допускающие понижение порядка
- •3.2.2. Уравнение вида
- •3.2.3. Уравнение вида
- •4. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •5. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •5.1. Свойства решений однородного линейного уравнения
- •5.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций
- •Биография
- •Философские воззрения
- •Научные достижения
Якоб Бернулли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, − 16 августа 1705, там же) − швейцарский математик, профессор математики Базельского университета (с 1687 года). Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Старший брат Иоганна Бернулли. Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701).
Биография
Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале, по желанию отца, учился в Базельском университете богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В университете овладел также 5 языками (французский, итальянский, английский, латинский, греческий), в 1671 году получил учёную степень магистра философии.
В1676-1680 годах совершил поездку по Европе. Заехал во Францию для изучения идей Декарта, затем в Италию. Вернувшись в Базель, некоторое время работал частным учителем.
В1682 году отправился в новое путешествие, навестив Нидерланды и Англию, где познакомился с Гюйгенсом, Гуком и Бойлем. В 1684 году, по возвращении в Базель, женился на Юдит Штупанус (Judith Stupanus),
уних родились сын и дочь.
В1683 году начал читать лекции по физике в Базельском университете. С 1687 года избран профессором физики (с 1687 года — математики) в этом университете.
1687: обнаружил первый мемуар Лейбница (1684 года) по анализу и с энтузиазмом начал освоение нового исчисления. Обратился с письмом к Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил только спустя три года (1690, Лейбниц тогда был в командировке в Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении Лейбниц вступил в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся триумвират — Лейбниц и братья Бернулли — 20 лет возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ.
Эпитафия и спираль на гробнице Якоба Бернулли В 1692 году у Якоба Бернулли обнаружились первые признаки туберкулёза, от которого он и скончался в
1705 году. В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер Bernoulli на Луне.
Научная деятельность
Первое триумфальное выступление молодого математика относится к 1690 году. Якоб решает задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс уже установили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб Бернулли опубликовал доказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин «интеграл».
Якоб Бернулли внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли.
Он исследовал также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль.
16
Последнюю из перечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; по невежеству там изобразили спираль Архимеда. Согласно завещанию, вокруг спирали выгравирована надпись на латыни, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), которая отражает свойство логарифмической спирали восстанавливать свою форму после различных преобразований.
Я. Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы «числа Бернулли».
Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре», в которой ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под названием «Искусство предположений» (Ars conjectandi).
Это содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применении, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли.
Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.
Иоганн Бернулли (нем. Johann Bernoulli, 27 июля 1667, Базель − 1 января 1748, там же) − швейцарский математик, самый знаменитый представитель семейства Бернулли, младший брат Якоба Бернулли, отец Даниила Бернулли.
Один из первых разработчиков математического анализа, после смерти Ньютона — лидер европейских математиков.
Иностранный член Парижской (1699), Берлинской (1701), Петербургской (1725) академий наук и Лондонского Королевского общества (1712).
Биография
Иоганн стал магистром (искусств) в 18 лет, перешёл на изучение медицины, но одновременно увлёкся математикой (хотя медицину не бросил). Вместе с братом Якобом изучает первые статьи Лейбница о методах дифференциального и интегрального исчисления, начинает собственные глубокие исследования.
1691: будучи во Франции, пропагандирует новое исчисление, создав первую парижскую школу анализа. По возвращении в Швейцарию переписывается со своим учеником маркизом де Лопиталем, которому оставил содержательный конспект нового учения из двух частей: исчисление бесконечно малых и интегральное исчисление.
В качестве концептуальной основы действий с бесконечно малыми величинами Иоганн сформулировал в начале лекций три постулата (первая попытка обоснования анализа):
1.Величина, уменьшенная или увеличенная на бесконечно малую величину, не уменьшается и не увеличивается.
2.Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.
3.Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой, рассматривается как параллелограмм.
Позже Лопиталь при издании своего учебника отбросил 3-й постулат как излишний, вытекающий из пер-
вых.
В этом же 1691 году появился первый печатный труд Иоганна в Acta Eruditorum: он нашёл уравнение «цепной линии» (из-за отсутствия в то время показательной функции построение выполнялось через логарифмическую функцию). Одновременно подробное исследование кривой дали Лейбниц и Гюйгенс.
1692: получено классическое выражение для радиуса кривизны кривой. 1693: подключился к переписке брата с Лейбницем.
17
1694: защитил докторскую диссертацию по медицине, женился. У него родились 5 сыновей и 4 дочери. В ответ на письмо Лопиталя сообщает ему метод раскрытия неопределённостей, известный сейчас как «правило Лопиталя».
Печатает в Acta Eruditorum статью «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка». Здесь появились выражения «порядок уравнения» и «разделение переменных» — последним термином Иоганн пользовался ещё в своих парижских лекциях. Выражая сомнение в сводимости любого уравнения к виду с разделяющимися переменными, Иоганн предлагает для уравнений первого порядка общий прием построения всех интегральных кривых при помощи изоклин в определяемом уравнением поле направлений.
1695: По рекомендации Гюйгенса становится профессором математики в Гронингене.
1696: Лопиталь выпускает в Париже под своим именем первый в истории учебник по математическому анализу: «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий» (на французском языке), в основу которого была положена первая часть конспекта Бернулли.
Значение этой книги для распространения нового учения трудно переоценить − не только потому, что она была первой, но и благодаря ясному изложению, прекрасному слогу, обилию примеров. Как и конспект Бернулли, учебник Лопиталя содержал множество приложений; собственно, они занимали львиную долю книги − 95 %.
Практически весь изложенный Лопиталем материал был почерпнут из работ Лейбница и Иоганна Бернулли (авторство которых в общей форме было признано в предисловии). Кое-что, впрочем, Лопиталь добавил и из своих собственных находок в области решения дифференциальных уравнений.
Объяснение этой необычной ситуации − в материальных затруднениях Иоганна после женитьбы. Двумя годами ранее, в письме от 17 марта 1694 г. Лопиталь предложил Иоганну ежегодную пенсию в
300 ливров, Он обещанием затем её повысить, при условии, что Иоганн возьмет на себя разработку интересующих
его вопросов, и будет сообщать ему, и только ему, свои новые открытия, а также никому не пошлет копии своих сочинений, оставленных в свое время у Лопиталя.
Этот тайный контракт пунктуально соблюдался 2 года, до издания книги Лопиталя. Позднее Иоганн Бернулли — сначала в письмах к друзьям, а после смерти Лопиталя (1704) и в печати — стал защищать свои авторские права.
Книга Бернулли-Лопиталя имела оглушительный успех у самой широкой публики, выдержала четыре издания (последнее издание − в 1781 году).
Она обросла комментариями, была даже (1730) переведена на английский, с заменой терминологии на ньютоновскую (дифференциалов на флюксии и т. п.). В Англии первый общий учебник по анализу вышел только в 1706 г. (Диттон).
1696: Иоганн публикует задачу о брахистохроне: найти форму кривой, по которой материальная точка быстрее всего скатится из одной заданной точки в другую. Ещё Галилей размышлял на эту тему, но ошибочно полагал, что брахистохрона — дуга окружности.
Это была первая в истории вариационная задача динамики, и математики с ней блестяще справились. Иоганн сформулировал задачу в письме Лейбницу, который тотчас её решил и посоветовал выставить на конкурс. Тогда Иоганн опубликовал её в Acta Eruditorum. На конкурс пришли три решения, все верные: от Лопиталя, Якова Бернулли и (анонимно опубликовано в Лондоне без доказательства) от Ньютона. Кривая оказалась циклоидой. Своё собственное решение Иоганн тоже опубликовал.
1699: вместе с Якобом он избран иностранным членом Парижской Академии наук.
1702: совместно с Лейбницем открыл приём разложения рациональных дробей (под интегралом) на сумму простейших.
1705: вернулся в Базельский университет, профессором греческого языка. Восемь раз был избран деканом факультета философии, и дважды − ректором университета. Сразу после смерти брата Якоба (1705) Иоганн был приглашён на его кафедру в Базеле и занимал её до самой смерти (1748). Незадолго до кончины он опубликовал свою переписку с Лейбницем, представляющую огромный исторический интерес.
Другие научные заслуги: Иоганн Бернулли поставил классическую задачу о геодезических линиях и нашёл характерное геометрическое свойство этих линий, а позднее вывел их дифференциальное уравнение. В 1743 году опубликована монография «Гидравлика», где при исследовании успешно применяется закон сохранения энергии (живой силы, как тогда говорили). Необходимо также отметить, что он воспитал множество учеников, среди которых — Эйлер и Даниил Бернулли.
К его портрету Вольтер написал четверостишие:
Его ум видел истину, Его сердце познало справедливость.
Он — гордость Швейцарии
Ивсего человечества.
Вчесть Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.
18
2.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
|
|
|
|
|
|
a(x)y′ + b(x)y = c(x) , |
(6.1) |
|
|
где y = y(x) − искомая функция; a(x), b(x), c(x) − заданные функции. Будем считать, |
|||||||
|
что они непрерывны на отрезке [α; β], причем a(x) ≠ 0 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку a(x) ≠ 0 x [α; β], то данное уравнение можно переписать так: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y′ + p(x)y = f (x) , |
(6.2) |
|
где p(x) = |
b(x) |
, |
f (x) = |
c(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a(x) |
|
a(x) |
|
|
Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция y , а также ее производная y′ входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.
Если f (x) ≡ 0 на (α; β) , то уравнение (6.2) называется однородным линейным уравнением. Если f (x) ≠ 0 , то уравнение (6.2) называется неоднородным линейным уравнением.
Функции p(x) ≠ 0 и f (x) ≠ 0 должны быть непрерывными в некоторой области, например на отрезке [α; β], для того, чтобы выполнялись условия теоремы Коши (3.1) существова-
ния и единственности решения.
Теорема 6.1.Если функции p(x) и f (x) непрерывны на отрезке [a; b] (α; β) , то уравнение (6.2) всегда имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию y(x0 ) = y0 , где точка (x0 ; y0 ) принадлежит полосе a < x > b, −∞ < y < ∞.
▲Разрешаяуравнение(6.2)относительно y′ приведемегоквиду y′ = −p(x)y + f (x) , гдеправая часть f1 (x; y) ≡ −p(x)y + f (x) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.1: она непрерывна
по совокупности переменных x и y и имеет ограниченную частную производную ∂∂fy = −p(x) в
указанной полосе. Отсюда следует справедливость утверждения. ▼ |
|
|||||||||||
Решение будем искать в виде произведения двух функций u = u(x), |
v = v(x) |
|||||||||||
|
′ |
|
|
′ |
′ |
|
|
|
y =uv . |
′ |
|
(6.3) |
Т.к. y |
|
|
, топодстановкавыражений для y и y |
вуравнение(6.2)приводитегоквиду |
||||||||
|
=u v + uv |
|
|
|||||||||
′ |
|
|
′ |
+ p(x)uv = f (x) , или |
|
|
|
|
|
|
||
u v + uv |
|
|
|
+ p(x)v)= f (x) . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
(6.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
u v + u(v |
|
|||||
Вкачестве v выберем одну из функций, обращающих в нуль сумму в скобках, т. е. функ- |
||||||||||||
цию, удовлетворяющую уравнению |
v′ + p(x)v = 0 . |
|
|
(6.5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С учетом (6.5) уравнение (6.4) принимает вид |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
f (x) . |
|
|
(6.6) |
|
|
|
|
|
|
|
u v = |
|
|
Уравнение (6.5) является уравнением с разделяющимися переменными x и v , из него определяется функция v = v(x) . Функцию u =u(x) находят из уравнения (6.6), которое приv = v(x) также является уравнением с разделяющимися переменными. Определив
u =u(x) и v = v(x) , по формуле (6.3) найдем y . Действительно, из уравнения (6.5) получаем
19
dv + p(x)v = 0, |
|
dx dv + p(x)vdx = 0, |
|
: v dv + p(x)dx = 0, |
∫dv |
= −∫p(x)dx , |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ln | v |= −∫ p(x)dx + ln | C1 | , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а из уравнения (6.6) – |
|
|
|
|
|
v(x) = C1e−∫p( x)dx , |
|
|
|
|
|
(6.7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
du C e−∫p( x)dx = |
f (x), |
|
dx C e−∫p( x)dxdu = f (x)dx, |
|
: C e−∫p( x)dx |
du = |
|
f (x)e∫p( x)dx , |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
dx 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
u(x) = |
1 |
∫ |
f (x)e∫p( x)dx dx + C2 . |
|
1 |
|
(6.8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле (6.3) находим общее решение линейного уравнения (6.2): |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y = e |
−∫p( x)dx |
|
f (x)e |
∫p( x)dx |
|
|
|
(C |
= C1C2 ) . |
(6.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
dx + C |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.1. Найти общее решение уравнения (x2 − x)y′+ y = x2 (2x −1) . Решить задачу Коши при начальном условии y(−2) = 2 .
▲ Это уравнение является линейным (содержит только первые степени y и y′, не содержит
их произведения). Приведем данное уравнение |
|
|
к |
виду (4.2), |
|
разделив |
обе его части |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на x2 − x ≠ 0 . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
1 |
|
|
y = |
x2 (2x −1) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x |
x2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Здесь p(x) = |
|
1 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
, f (x) = |
|
x2 |
(2x −1) |
= |
x(2x −1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
2 − x |
|
x(x −1) |
|
x(x −1) |
|
|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Положим y = uv , тогда y |
′ |
|
′ |
|
|
|
′ |
, уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= u v +uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
uv |
|
|
x(2x −1) |
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
v |
|
|
|
x(2x − |
1) |
. |
||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
u v +uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, u v +u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(x −1) |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x −1) |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
В качестве v выберем одну из функций, удовлетворяющих уравнению (функция v выби- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рается произвольно, поскольку только произведение uv |
|
должно удовлетворять исходному |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнению) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v′+ |
|
|
|
|
|
|
v = 0, |
+ |
|
|
|
|
v = 0, |
|
dx dv +v |
|
|
|
= 0, |
|
: v |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x(x −1) |
dx |
x(x −1) |
|
x(x −1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dvv + x(xdx−1) = 0, ∫dvv + ∫x(xdx−1) = 0 .
Найдем входящий в это решение интеграл. Имеем:
|
dx |
= |
|
|
1 |
|
|
|
= |
A |
+ |
B |
, 1 = A(x −1) + Bx, |
A = −1, B |
=1 |
= |
|
|
||||||||||||||||||
∫x(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x(x −1) |
|
|
x x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= ∫ |
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
dx = −ln |
x |
+ln |
x −1 |
= ln |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
x −1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Очевидно, в качестве такой функции можно взять ln |
|
v |
|
+ln |
|
x −1 |
|
= 0, v = |
|
x |
|
. Подставив |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эту функцию в уравнение u′v = x(x2−x 1−1 , получим
du |
x |
|
= |
x(2x −1) |
, |
|
dx du = (2x −1)dx, ∫du = ∫(2x −1)dx, u = x2 |
− x +C . |
|
|
|||||||||
dx |
x −1 |
x −1 |
|||||||
|
|
|
|
|
20