- •В. Н. Веретенников
- •ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •Учебное пособие
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •Биография
- •Увековечение памяти
- •Научные достижения
- •Математика
- •Точка Торричелли
- •Механика
- •Атмосферное давление и первый барометр
- •Гидравлика
- •Изобретения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача Коши
- •Общее и частное решения уравнения.
- •Итак, чтобы найти особые решения уравнения (2.2), надо
- •Геометрический смысл уравнения.
- •2.4. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2.5. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Биография
- •Научная деятельность
- •Биография
- •Метод вариации постоянной (Лагранжа).
- •Уравнения Бернулли.
- •3. Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Уравнения 2 - го порядка, допускающие понижение порядка
- •3.2.2. Уравнение вида
- •3.2.3. Уравнение вида
- •4. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •5. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •5.1. Свойства решений однородного линейного уравнения
- •5.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций
- •Биография
- •Философские воззрения
- •Научные достижения
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Вматематике дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в виде дифференциальных уравнений.
Дифференциальныеуравнения– этоуравнения,вкоторыенеизвестнаяфункциявходит под знаком производной. Основная задача теории дифференциальных уравнений – изучение функций, являющихся решениями таких уравнений.
Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения в частных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух и большего числа переменных.
Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению. Представим себе водоем, в который втекает вода (или из которого вытекает). Объем воды, находящейся в водоеме, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть
функция времени t. Каков смысл величины dVdt ?
Ясно, что dV =V (t + ∆t) −V (t) есть объем воды, поступающей в водоем (при отрицательном значении dV − ушедший из водоема) за время dt . Поэтому dVdt = q(t) есть скорость изменения количества воды в водоеме. Величина q(t) носит специальное название потока воды. Если q > 0 , то вода в водоем поступает, если же q < 0, то вода из
водоема вытекает, т. е. масса воды в водоеме уменьшается.
Если зависимость потока воды от времени известна, т.е. известна функция q(t) , то
задача нахождения V математически не отличается от задачи определения пути по заданнойскорости,котораякакмызнаем,решаетсяспомощьювычисленияопределенного интеграла.
Полученное уравнение является дифференциальным, т. к. в него входит производ-
ная dV искомой функции V. Для того чтобы наша задача имела определенное решение,
dt
нужно задать объем V0 воды, который находился в водоеме в определенный начальный момент времени t0 . Условие V =V0 при t = t0 называют начальным условием, выделяю-
щим одно определенное решение исходного уравнения.
Объем (количество) воды, которая втекла в водоем (или вытекла из него) за время
t1
от t0 до t1 , есть ∫q(t)dt . Поэтому количество воды в водоеме в момент t1 равно
t0
t1
V (t1 ) =V0 + ∫q(t)dt .
t0
Этовыражениесправедливодлялюбогомоментавремени t1 и,следовательно,полностьюопределяетискомуюзависимость V от t1 .Призначении t1 =t0 интегралвпоследней формуле равен нулю и V (t0 ) =V0 . Таким образом, полученное решение действи-
тельно удовлетворяет нашему начальному условию. Однако поток воды как функция времени известен отнюдь не всегда! Чаще известен физический закон, указывающий зависимость потока от напора воды, т. е. от высоты z уровня воды в водоеме. Так, например, можно считать, что q = −kz , где коэффициент k − это некоторое положительное по-
стоянное число, а знак минус означает, что вода вытекает.
4
Имеет место совсем другой закон, установленный впервые учеником Галилея Э. Торричелли q = −az .
Возможна также комбинация постоянного поступления воды q0 и вытекания ее по
закону q = −kz или q = −az . В каждом из этих случаев, пока интересующая нас задача не решена, зависимость z = z(t) уровня воды в водоеме от времени неизвестна, а значит,
нам неизвестен и поток.
Мы сформулировали здесь задачу в общем случае для произвольной зависимости q = q(z) потока q от уровня z. В уравнение dVdt = q(z) входят две неизвестные величины:
количество (объем) V воды и уровень воды z. Очевидно, эти величины не независимы: каждому уровню z соответствует вполне определенный объем V воды, так что V есть функция V (z) переменной z. Ясно, что вид функции V (z) полностью определяется фор-
мой водоема.
5