- •Российский государственный гидрометеорологический университет Факультет заочного обучения
- •195196, Г.Санкт-Петербург, Малоохтинский пр. Д.98, тел.444-41-32 фзо
- •Контрольная работа №_6,7,8,9______
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения Контрольная работа 6
- •Теория рядов Контрольная работа 7
- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Контрольная работа 8
- •Общая схема построения интегралов. Теория поля Контрольная работа 9
группа Наклеивать на лицевую сторону обложки тетради
Российский государственный гидрометеорологический университет Факультет заочного обучения
195196, Г.Санкт-Петербург, Малоохтинский пр. Д.98, тел.444-41-32 фзо
Контрольная работа №_6,7,8,9______
По Математике (Вариант № С )
Год издания методических указаний_____________________________________________________
Студента (ки)________курса, специальности _____________________________________________
(фамилия, имя, отчество)
Обратный адрес _____________________________________________________________________
Обыкновенные дифференциальные уравнения Контрольная работа 6
Задание . Найти общее решение дифференциального уравнения.
С. ; .
Решение.
Выполним преобразование с заданным уравнением:
,
разделим уравнение на :
Данное уравнение является однородным первого порядка, т.к. выполняется равенство , где – правая часть уравнения.
,
тогда
.
Выполняем подстановку
; , где , тогда .
Уравнение примет вид
;
;
.
В данном уравнении теперь можно разделить переменные:
;
;
.
Переменные разделены, можно интегрировать
;
;
;
;
.
Итак, общее решение данного дифференциального уравнения
.
Ответ: .
Данное уравнение является уравнением второго порядка, допускающим понижение порядка. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки: , тогда . Выполняя подстановку, получим уравнение первого порядка, которое является уравнением с разделяющимися переменными:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Вернемся к замене и отыщем функцию :
;
;
;
.
Выполним интегрирование
;
;
.
Ответ: .
Задание II. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.
С. ; .
Решение.
Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид
;
.
Тогда общее решение однородного уравнения примет вид
.
Применим метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного уравнения .
В этом случае , среди корней характеристического уравнения нет корней, равных .
Частное решение ищем в виде
где – неопределенный коэффициент. Найдем , .
;
.
Для определения подставим выражения , в исходное уравнение.
.
Преобразовываем полученное выражение:
; .
Тогда частное решение неоднородного уравнения примет вид:
.
Общее решение неоднородного уравнения
.
Найдем частное решение неоднородного уравнения, используя начальные условия: , , . Найдем :
.
Подставляя начальные условия в и , получим уравнения:
Таким образом, частное решение исходной задачи имеет вид:
.
Ответ: частное решение .