Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1160.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
10.8 Mб
Скачать

Уравнение теплопроводности может быть записано для анизо­ тропных сред. Анизотропной называется среда, теплопроводность ко­ торой зависит от направления. Закон Фурье в общем случае можно записать в тензорном виде

4i = - X i J t,i *=1.2,4,

где запятая после температуры обозначает дифференцирование. Тензор теплопроводности X itJ в прямоугольной системе координат (/ = х, у, z) имеет следующий вид:

XXX

х

у х

К

Х*У

Хт

УУ

К

х „

XZ

х т У 2

К

Для ортотропной среды, свойства которой изменяются в трех взаимно перпендикулярных направлениях, совпадающих с направлениями осей координат,

 

 

^ " х х

0

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

X „„

0

 

 

 

 

 

 

 

 

У У

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

X

 

 

 

уравнение теплопроводности имеет вид

 

 

 

 

дг

д

& J в,

к

 

-

 

]

 

к

- ] + qY

ос--- =

----

 

dz

К дх

дх

 

 

9у)

 

дг)

или при постоянной теплопроводности

dt _. К дх рс

f a 2*

сё

гм

Г

1

д2{

д г1

+

1 Х=

к * ду2

h n . dz 2

pc'

С учетом обозначений аи = Я„/(рс), ку = 'kyyfk xx, кг = Ха /Хх уравнение теплопроводности принимает стандартный вид

где оператор Лапласа V ff

Таким образом, для анизотропной среды уравнение теплопроводно­ сти также приводится к стандартному виду, однако изменяется вид опе­ ратора Лапласа, в нем появляются коэффициенты анизотропии куу кх, кор­ ректирующие теплопроводность по направлениям.

Запишем уравнение теплопроводности для высокоскоростных процессов. Полученное ранее выражение закона Фурье q = —X V t

предполагает бесконечно большую скорость распространения теплоты в теле, при которой градиент температуры и плотность теплового потока для любого момента времени т соответствуют друг другу. Это подтвер­ ждается для стационарных и медленно протекающих нестационарных процессов.

Для высокоскоростных процессов в условиях резкого изменения теп­ лового потока на поверхности тела перестройка температурного поля и из­ менение температурного градиента запаздывают вследствие тепловой инерции на время релаксации тг. Скорость распространения теплоты и время релаксации связаны соотношением

(4.8)

из которого следует, что время релаксации увеличивается с увеличением тепловой инерции тела и уменьшается с увеличением скорости распростра­ нения теплоты иг Например, для азота тг= 10'9 с, а для алюминия тг = 1(Г11с.

С учетом скорости распространения теплоты (4.8) в законе Фурье появляется дополнительный член

(4.9)

Рассмотрим с учетом (4.9) вывод одномерного уравнения теплопро­ водности, в котором отсутствуют внутренние источники тепла, тепло­ проводность и время релаксации постоянны. Проекция плотности тепло­ вого потока (4.9) на ось JC

(4.10)

подставив ее в уравнение теплопроводности

 

 

ддх

 

(4.11)

 

дх

 

 

получим

 

 

 

 

+ Хг

д 2дх

(4.12)

 

дх дх

 

 

Продифференцируем уравнение (4.11) по х, получим

 

d 2t

d zqx

(4.13)

pc— - =

------ — .

д х2

дх дх

 

Подставим смешанную производную из уравнения (4.13) в уравне­ ние (4.12) и поделим на рс, в результате получим одномерное уравнение теплопроводности

dt ,

d 2t

 

(4.14)

дх + Т' д х 2

В трехмерном случае при наличии источника тепла уравнение (4.14) принимает вид

d 2t

= a V 2/ + ^ .

(4.15)

д х2

Р с

 

Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности отно­ сится к классу гиперболических уравнений, в частном случае при тг=0 из него получается стандартное уравнение теплопроводности (4.1).

4.2. Краевые условия

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет бесконеч­ ное множество решений. Чтобы найти единственное решение, характе­ ризующее конкретный процесс, необходимо задать краевые условия.

Краевые условия включают в себя начальное (временное) и гранич­ ные (пространственные) условия.

Начальное краевое условие необходимо для нестационарного про­ цесса и характеризует распределение температуры в начальный момент времени,

t(x, у, z, 0) = /(* , у, z),

(4.16)

часто его принимают однородным

f(T=0) = f0.

(4.17)

Граничные краевые условия характеризуют форму тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Различают четыре вида гранич­ ных краевых условий.

При граничных условиях 1-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается распределение температуры

*п=/(*п» .Vo »*„.*)•

(4Л8)

В частном случае температура поверхности может поддерживаться постоянной во времени, такая граница называется изотермической

tn = const.

(4.19)

На рис. 4.1 показан процесс остывания тела с изотермической границей (fn = const), при этом плотность теплового потока, харак­ теризуемая тангенсом угла наклона каса­ тельной (tg \|f~q)yпеременна.

При граничных условиях 2-го рода на поверхности тела для каждого момента вре­ мени задается плотность теплового потока

Яп = f ( x „ , y n,z„,x).

(4.20)

В частном случае плотность теплового потока может поддерживаться постоянной во времени, например, при нагревании ме­ талла в высокотемпературных печах,

q n = const.

(4.21)

Рис. 4.1. Расчетная схема к граничным условиям 1-го рода

Рис. 4.2. Расчетная схема к граничным условиям 2-го рода

На рис. 4.2 показан процесс остывания тела при постоянной плотности теплового потока (q n = const), при этом температура поверхности тела переменна.

Частным случаем граничного условия 2-го рода является адиабатная граница (q n =0), например ось симметрии тела.

При граничных условиях 3-го рода на поверхности тела для каждого момента вре­ мени задается температура окружающей среды и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой

 

9 „ = а ( ' „ - ' с ) >

( 4 -2 2 )

где

а - коэффициент теплоотдачи,

 

а

=

(4.23)

характеризующий плотность теплового потока при единичной разности температур между поверхностью те­ ла и окружающей средой.

С учетом закона Фурье гранич­ ное условие 3-го рода имеет вид

- Х ^ - = а ( ( п - (с). (4.24)

Рис. 4.3. Расчетная схема к граничным условиям 3-го рода

Входящий в это условие темпе­ ратурный градиент может быть представлен в соответствии с обо­ значениями рис. 4.3, на котором по­ казан процесс остывания тела

dt _ t, - tc _ АВ дп — Х/а АС

Рис. 4.4. Расчетная схема к граничным условиям 4-го рода

При этом изменяются как температура поверхности тела (/„), так

и плотность теплового потока (#~tg \j/).

Отметим, что граничные условия 1-го и 2-го рода являются частны­ ми случаями граничных условий конвективного теплообмена:

1

 

 

X dt

,

 

v

= tc- изотермическая граница;

1.a

= оо = > --------- = (fn

tc) => / п

 

 

 

а дп

 

 

'

 

2 .

а = 0

=>

q n = a ( t n - t c) =>

q n = 0 - адиабатная граница.

Граничные условия 4-го рода - это условия теплообмена на границе

контакта двух тел (рис. 4.4)

 

 

 

 

—Л.. ^

=

- л а

 

At

(4.25)

 

дп

 

 

дп

2

 

 

 

где RK [К м2/Вт] - тепловое сопротивление контакта, зависящее от давления, чистоты поверхностей и других факторов. В частном случае идеального контакта (Лк=0)

-X

dt.

(4.26)

= -Х . _2_

дп

дп

 

т.е. коэффициент теплопроводности и тем­ пературный градиент обратно пропорцио­ нальны: чем выше коэффициент теплопро­ водности материала, тем меньше в нем тем­ пературный градиент.

Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевы­ ми условиями образуют краевую задачу теплопроводности, имеющую единственное решение.

4.3. Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности

Рассмотрим одномерную нестационарную задачу теплопроводно­ сти при граничных условиях 3-го рода, моделирующую температурное поле в плоском слое (рис. 4.5). Для записи краевой задачи теплопровод­ ности

 

 

дЧ_

 

 

дх

 

< т = 0) = *о>

 

й д х2'

 

 

-

^ £

и = а (^п - ^ с )

(4-27)

выберем безразмерные переменные: тем­

пературу

Q = t/t0 и координату X = х/1

Размерные переменные t = Q -t0 и х = X • /

подставим в дифференциальное уравнение

т =

t0d 2e

до

д 20

dt

° 12д Х 2

а

д Х 2'

 

 

 

д

 

Рис. 4.5. Температурное поле

 

 

 

 

плоского слоя

Fo = —

— ;— число Фурье, ха-

Здесь

 

 

12

I2/а

 

растеризует безразмерное время процесса теплопроводности, его назы­ вают числом гомохронности (однородности по времени). Если для двух систем характерная длительность I2/а имеет одно и то же значение, то гомохронность переходит в синхронность.

Итак, безразмерная форма дифференциального уравнения теплопро

водности

 

 

д 0 _

д 20

(4.28)

1 )Т о ~ ~ д Х 2

 

Такое же обезразмеривание применим к граничным условиям 3-го

рода:

 

 

 

3f

=>

 

дх

 

 

А0

_ 90 -

а I А0.

ШХ

д х u

 

В результате получим безразмерное граничное условие

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]