Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1160.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
10.8 Mб
Скачать

- X

N +

~ 4tN + У-»

 

a { } N +\ О

 

 

2К

получается более точное по сравнению с (10.83) значение температуры на границе

+ ( 4^

(10.85)

t N +

1+

ъх

2ahx

Отметим нелинейность граничных условий для температуры, давле­ ния, завихренности, т.е. их зависимость от искомых параметров во внут­ ренних узлах сетки. Это приводит к итерационному процессу удовлетво­ рения граничным условиям, который заканчивается при достижении на­ перед заданной точности.

10.7. Расщепление многомерного уравнения переноса

При решении многомерного (двух- и трехмерного) уравнения пере­ носа методом сеток объем вычислений резко возрастает по сравнению

Рис. 10.8. Схема разбиения области на фиксированном временном слое

с решением одномерного уравнения. Идея расщепления заключается в том, что многомерное уравнение переноса сводится к сходящейся по­ следовательности одномерных уравнений с одновременным сокращени­ ем числа арифметических операций. Рассмотрим эту идею на примере расщепления уравнения переноса без источника (5=0) в прямоугольной области

as ,

as ,

as

, a2s

,

a2s)

 

dx

dx

dy

[dx2

 

dy2

 

Область покрывается регулярной сеткой (рис. 10.8):

 

•*<=(*'- 1)ЛХ,

/= 1 ,2 ,

 

N + 1;

hx = H x/ N ,

 

У} = ( j ~ l)hy>

J = l>2>

М + 1;

hy = H y/ M ,

( 10.86)

хк = { k - l) h x, к = 1,2,

где NyM - числа разбиений области в направлении координат х, у. Применение явной схемы аппроксимации, рассмотренной для од­

номерного уравнения переноса, легко распространяется на двухмер­ ный случай. Количество арифметических действий на одном времен­ ном слое, пропорциональное числу узлов N в одномерном аналоге, становится пропорциональным N-M в двухмерном аналоге, т.е. оста­ ется пропорциональным числу узлов сетки. При неявной схеме ап­ проксимации одномерного уравнения переноса число арифметиче­ ских действий при решении системы матричных уравнений прямым методом пропорционально N2, а для двухмерного уравнения это число операций возрастает пропорционально {N-M)1 При сведении двух­ мерного уравнения переноса к двум одномерным число арифметиче­ ских действий пропорционально (ТУ2+Л/2) и значительно сокращается по сравнению с (N'M )2.

Схемы аппроксимации, в которых число арифметических действий, необходимых для перехода от одного временного слоя к другому про­ порционально числу неизвестных, называются экономичными. Напри­ мер, экономична явная схема, в которой, однако, объем вычислений ве­ лик из-за жесткого ограничения на шаг по времени. Экономичной явля­ ется и схема расщепления неявного уравнения переноса, позволяющая проводить расчеты с большими шагами по времени.

\ п ' +Ф-(* “) +фЛ А V ') = A [A - ( * ) + A ,W ]- <10-89>

При переходе с полуцелого слоя схема, наоборот, явна по у и неяв­ на по х :

S ‘Jh + ФX(S и) + Фу(§ v) = A [ A x(s) + A y(5)]. (10.90)

Описанную схему расщепления называют продольно-поперечной прогонкой. Уравнения (10.89), (10.90) можно переписать, поместив неиз­ вестные в левую, а известные в правую часть:

+ у [ ф # “) - л л . р ) И . ,

--< * ,(* )]. (1091)

S,., + у[ф.(Й')-<Л.('9)Н и - YK(^)-^A,(s)j.

В результате для всех внутренних точек соотношения (10.91) обра­ зуют две системы линейных алгебраических уравнений:

а \ * ^ i - i j

 

 

+ c i * ^ i + i . j

= f \

>

 

a 2 ^ i

, j - \

, +

$ i , j

~ ^ C 2 ^ i J

+\ = f

2 *

(10.92)

/ = 2,

3,

N\

У=2, 3,

 

M y

 

которые решаются последовательно. Коэффициенты и правые части урав­ нений (10.92) могут быть найдены из сравнения их с уравнениями (10.91). Решению каждой системы предваряет снос части граничных условий с предыдущего слоя, который на схеме расщепления (см. рис. 10.9) пока­ зан штриховыми стрелками.

Продольно-поперечная схема расщепления объединяет преимуще­ ства явной и неявной схем, поэтому ее называют явно-неявной.

При решении трехмерного уравнения переноса вводится два полуцелых слоя: £-1/3 и £-2/3. Выполняя аналогичные преобразования, можно показать, что задача в этом случае сводится к последовательному реше­ нию трех систем линейных алгебраических уравнений на каждом слое по времени.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]