- •3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.
- •Доведення:
- •6Означення визначника n-го порядку
- •7Властивості визначників n-го порядку
- •8Поняття вектора.Лінійні дії над векторами.
- •11 Декартова система координат
- •12Скалярний добуток векторів
- •13Векторний добуток векторів
- •14. Мішаний добуток трьох векторів.
- •21. Взаємне розташув 2 площ. Кут між прямою і площиною
- •22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
- •27 Множення матриць
- •28 Елементарні перетворення матриць
- •32. Компл числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- •33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
- •34. Операції над многочленами.
- •35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера
- •36 Основна теорема алгебри
- •37. Раціональні дроби
- •38.Аксіоматичне визначення векторного простору
- •40.Підпростори векторного простору
- •41.Афінний простір...
- •42.Ранг матриці.
- •43.Підпр, утвор ровязк однор слр
- •44 Неоднор системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі
- •45.Лп та їх матриці. Дії над лп. Обернене лп.
- •46.Матриці лп. Подібні матриці.
- •47.Характеристичний многочл, власні числа і власні вектори лп
- •48. Означ евклід прост. Ортог вектори. Ортогоналізація Гр-Шмі.
- •49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.
- •50.Ортогональні перетворення.
- •51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
- •52 Зведення кф до канонічного вигляду
- •53) Поняття множини. Рівність множин.
- •54) Операції над множинами.
- •55) Означення функції. Види відображень.
- •56. Складена, обернена функція.
- •57. Параметричне та неявне відображення.
- •58. Аксіоми множин дійсних чисел
- •59. Розширення множини дійсних чисел
- •60. Основні характеристики дійсного числа.
- •61. Обмежені та необмежені числові множини.
- •62. Верхня та нижня межа множини.
- •63 Принцип Архімеда.
- •64. Принцип вкладених відрізків
- •65) Еквівалентність множин та поняття потужності
- •66) Зчисленна потужність
- •67) Континуальна потужність
33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
1)
2)
3)
4) - розкривається за ф-лою бінома Ньютона
Властивості спряжених КЧ:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Множення в тригонометричній формі:
z1=ρ1(cosφ1+isinφ1) z2=ρ(cosφ2+isinφ2)
→
Ф-ла Муавра:
Ділення в тригон формі:
Корінь:
k=0,1,…,(n-1)
Показникова форма:
1)z1=ρ1eiφ1 z2=ρ2eiφ2
z1z2=ρ1ρ2ei(φ1+φ2)
2)z1/z2=(ρ1/ρ2)∙ei(φ1-φ2)
3)zn=ρneinφ
4)
34. Операції над многочленами.
Многочленом n-го степеня назив. функція f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an де
аі коефіцієнти, які є С(аі є КЧ) і= , х є С
Операції над многочленами
f(x)= a0xn+…+an
g(x)=b0xm+…+bm n m
Сумою двох многочленів назив. многочлен f(x)+g(x)=c0xn+…+cn де ci є сумою коефіцієнтів при Хn-і многочленів f(x) і g(x).
Добутком многочл f(x) і g(x) назив многочл f(x)g(x) коефіцієнти сі якого є рез-том перемнож таких коеф многочл, що сума відповід степенів змінної = n-і та додав таких добутків.
Операції дода і множ комутативні, асоц і має місце дистрибутивність. (f(x)+g(x))q(x)=f(x)q(x)+g(x)q(x)
Протилежний многочлен до многочл f(x) – це многочл –f(x)=-a0xn-…-an
Оберненений многочлен визнач лише для многочленів 0-го степеня
f-1(x):=f(x)f-1(x)=1
Введемо операцію ділення многочленів з остачею.
Теор. Для будь-яких многоч f(x) і g(x) q(x), r(x) такі що f(x)=g(x)q(x)+r(x) причому степінь r(x) менший за степінь g(x), або r(x)=0
Доведення методом ділення куточком.
О.Мног (x) назив. дільником мног f(x) якщо (x) такий,щоf(x)=(x)(x)
Властивості подільності многочленів
1) f(x) (x) та (x) r(x)f(x) r(x)
2) f(x) (x) і g(x) (x)(f(x) g(x)) (x)
3) f(x) (x)f(x)g(x) ) (x)
4) будь-який мног f(x) на будь-який ненул мног нульового степеня
5) Мног f(x) і g(x) діляться один на одний тоді і тільки тоді, коли f(x)=cg(x) cєC, c0
НСД многочленів f(x) і g(x) відмінним від 0 назив. такий мног d(x) який є дільником кожного з них та сам ділиться на будь-який інший спіл діл цих многочленів НСД(f(x),g(x))=d(x)
Для знаходж НСД використ. Алгоритм Евкліда
f(x)=g(x)q1(x)+r1(x)
g(x)=r1(x)q2(x)+r2(x)
r1(x)=r2(x)q3(x)+r3(x)
……………………………..
(4)rk-2(x)=rk-1(x)qk(x)+rk(x)
(5)rk-1(x)=rk(x)qk+1(x)
d(x)=НСД(f(x),g(x))=rk(x)
Доведення
(5)rk-1 rk
(4)rk-2 rk
………………….
(3)r1 rk
(2)g rk
(1)f rk
Звідси rk спільний дільник f і g
Нехай (x) спільний дільник f і g. Доведемо, що rk(x) (x)
(1)f ,g r1
…………………….
(4)rk-2 ,rk-1 rk
Наслідок. Якщо f і g мають дійсні коефіц,то їх НСД теж буде мати дійсні коефіцієнти
Зауваження. В силу власт. 5 дільників многочленів маємо, що НСД визначений з точністю до многочлена 0-го степеня, тому можна вважати, що старший коефіцієнт НСД дорівнює 1
О.Многочлени f і g назив взаємнопростими, якщо їх НСД дорівнює 1
Теорема. Якщо d(x)=НСД(f(x),g(x)), то u(x),v(x), що виконується f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)
Причому якщо степені f і g>0 то степінь u(x) менший степені g(x), а степінь v(x) менший степені f(x). Доведення спирається на алгоритм Евкліда(знизу вверх)
Наслідок: Якщо f(x) i g(x) взаємнопрості, то існують єдині u(x) ta v(x) такі, що f(x)u(x)+g(x)v(x)=1