59. Розширення множини дійсних чисел
Множина R відображається числовою прямою, тобто кожному дійсному числу поставлена у відповідність одна і тільки одна точка числової прямої. В багатьох випадках зручно доповнити множину R елементами + нескінченість, - нескінченість(невласні дійсні числа)
О
значення:
множина R=R
-
називається
розширеною множиною дійсних чисел, де
при
чому виконується такі умови:
1)
R
-
<
a <+
;
а±(-
)=-+
;
a±(+
)=±
;
a/+
= a/-
=
0
2) R ^ a>0,то a(± )=+
3) R ^ a<0,буде викон a(± )=-+ .Для О ця операція невизначена
Підмножинами розширеної множини дійсних чисел є числові проміжки: відрізок,інтервал, піввідрізок, півінтервал –числові мн-ни спец винляду.
R
[a,b]
=
x
R:
a≤x≤b
- відрізок
(a,b) = x R: a<x<b - інтервал
[a,b) = x R: a≤x<b - піввідрізок
(a,b] = x R: a< x≤b - півінтервал
a,b- кінець проміжку
якщо а,b R, то визначена довжина проміжку b-a
точки x a<x<b наз. внутр. точка проміжку
Околом скінченої та наз. множина ОЕ (а) = а R: а-Е<а< а+Е =( а-Е; а+Е)
Е- околом нескінченно віддаленої точки називається множина
ОЕ
(+
)=(
;+
],
Е>0
ОЕ(- )=[- ;- ),Е>0
проколеним околом скінченої точки а R наз. ОЕ(а) = ОЕ(а)\ а
З означення околів точок R випливає така властивість точок розширеної числової осі: у двох будь-яких різних точок з R є околи, що не перетинаються.
60. Основні характеристики дійсного числа.
Основні хар-ки дійсного числа – модуль і знак.
О.Модулем дійсного числа х наз.число
|x| ={x,при x>=0,або -x ,при x<0}.
О. Знак дійсного числа визначається рівністю
sgn(x)={1 при x>0, або 0 при x=0, або -1 при x<0.
Очевидні співвідношення: х=/х/sgn(x), /х/=хsgn(x), sgn(x*у)=sgn(x)* sgn(у).
Властивості модуля
1) |x|>=0; |x|=0 x=0
2) |x|=|-x|
3) |x|>=x; |x|>=-x
4) |xy|=|x||y|; |x/y|=|x|/|y| , y<>0.
5) ||x|-|y||<=|x+-y|<=|x|+|y|
6) |x-x0|<a, a>0 x є (x0-a; x0+a)
|x-x0|>a x є (-∞; x0-a)U(x0+a; +∞)
|x-x0|<=a, a>0 x є [x0-a; x0+a]
|x-x0|>=a x є (-∞; x0-a]U[x0+a; +∞)
61. Обмежені та необмежені числові множини.
О. Числова множина –це підмножина множини дійсних чисел.
О. Числова множина Х наз обмеженою зверху якщо існує М є R, таке що для будь-якого хє Х: х<=M.
Число М наз обмежувальним зверху множину Х.
О. Числова множина Х наз обмеженою знизу, якщо існує m є R, що для будь-якого х єХ виконується х >=m.
Число m – обмежувальне знизу множину Х.
О. Множина Х наз обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу.
Х не обмежена зверху, якщо для будь-якого М є R існує х є Х таке, що х>M.
X не обмежена знизу, якщо для будь-якого m є R існує х є Х таке, що х<m.
О. Множина Х наз необмеженою якщо вона не є обмеженою зверху і знизу.
62. Верхня та нижня межа множини.
О.1. Нехай числова множина Х обмежена зверху. Найменше серед усіх чисел обмежувальних зверху множину Х наз його (точною) верхньою межею, і позначається: supremum ( supX). Нехай числова множина Х обмежена знизу. Найбільше серед усіх чисел обмежувал знизу мн-ну Х наз його (точною) нижньою межею, і позначається: infimum (infX).
Переформулюємо О.1 розшифрувавши використані поняття.
О.1.1. Число β=supX наз верхнею межею множини якщо:
1) для будь-якого хєХ х<=β 2) для будь-якого β1<β, β1єR існує хєХ таке що х>β1 ( або для будь-якого ε>0 існує хєХ таке що х>β-ε )
Число α=infX наз нижнею межею мн-ни якщо:1)для будь-якого хєХ x>=α
2) для будь-якого α1>α, α1єR існує хєХ таке що х<α1 ( або для будь-якого ε>0 існує хєХ таке що х<α+ε )
Теорема 1. Будь-яка обмежена зверху(знизу) не порожня числова множина має верхню(нижню) межу.
Доведення. Нехай розглядається числова множина А≠Ø і обмежена зверху. Позначимо В – множина всіх обмежувальних зверху чисел. Тоді для будь-якого a є А і для б-якого b є В виконується a<=b. За аксіомою неперервності R існує дійсне число βєR таке що a<=β<=b.
Для будь-якого аєА а<=β => β- обмежувальне. Для будь-якого bєА b<=β => β-найменше з усіх обмежувальних. За О.1 супремума маємо, що β – supA. (про інфімум доводимо аналогічно). Доведено.
Зауваження. Якщо Х – необмежена зверху, то кажуть supX=+∞, Якщо Х – необмежена знизу, то кажуть infX=-∞.
Висновок. Кожна числова множина має верхню (нижню) межу, скінченну або нескінченну.
Наслідок з теореми 1.Якщо для будь-якого a є R та х є Х виконується х<=a (x>=a), то supX<=a (infX>=a).
В нерівностях можна переходити до супремуму та інфимуму.
О. Арифметичною сумою числових множин Х1,Х2,...,Хn наз множина що склад з дійсних чисел вигляду Х1+Х2+...+Хn, де кожен xi є Хі, і=1,n.
О. Арифметичною різницею числових множин Х-У наз множина що склад з елементів вмду х-у, де xєХ, уєУ.
О. Добутком м-н Х на число λ наз множина λХ, що склад з елλх, хєХ.
Арифметичні властивості верхніх і нижніх меж:
1) sup(X1+X2+…+Xn)= sup(X1)+ sup(X2)+…+sup(Xn)
inf(X1+X2+…+Xn)= inf(X1)+ inf(X2)+…+inf(Xn)
2) λ>0: sup (λX) = λ supX inf (λX) = λ infX
λ<0: sup (λX) = λ infX inf (λX) = λ supX
3) sup (X-Y) = supX-infY.