66) Зчисленна потужність

Озн: Множина – рівнопотужна N називається зчисленною множиною , а потужність (N) – зчисленна потужність

Властивості зчисленних множин

1) будь-яка нескінченна множина містить зчисленну підмножину.

Доведення: Нехай Х –нескінченна множина, тоді х1 Х

Розглянемо множину Х\{x1} 0 . х2 Х\{x1}, продовжуючи цей процес , побудуємо множину {x1,x2,…,xn,…} X

2) Будь-яка нескінченна підмножина зчисленної множини – зчисленна.

3) Якщо кожна з множин x1,x2,…,xn,… не більше ніж зчисленна ( скінченна або зчисленна), то об’єднання цих множин, теж не більше ніж зчисленна.

Теорема: Множина всіх раціональних чисел - зчисленна

Доведення: Випишемо всі раціональні числа, подавши їх у вигляді таблиці, що має нескінченну кількість рядків і стовбців.

В кожному n-му рядку роз-ні раціональні нескоротні дроби із знаменником n

Після впорядкування: Q~N

Теорема: будь- який відрізок множини дійсних чисел складається з несчисленної множини точок.

67) Континуальна потужність

Зауваження: [a,b]~[c,d]~ [0,1]

([0;1]) – континуальна потужність

R ~ (0;1) ~ [0,1]

Отже (R) = ([0,1]) ( (R)- континуальна потужність)

Гіпотеза Кантора : Не існує потужності більшої за счисленну і меншої за континуальну.

Доведення (від супротивного)

[a,b] , a<b , a,b R Припустимо , що відрізок – счисленна множина

[a,b]={x1,x2,…,xn,…}

[a1,b1] [a,b] x1 не [a1,b1] x1 не [a2,b2] [a1,b1] [a,b]

Одержимо систему вкладених відрізків [an,bn] [a,b] , вони не містять точок x1,x2,…,xn .Отже жодна точка хn, n N не буде належати прерізу вкладених відрізків. [an,bn]

З іншого боку вкладені відрізки мають:

[an,bn] n N

[a,b] => n0 N

=xn0 => xn0= [an0,bn0] -суперечність по будові вкладених відрізків

Висновок :відрізок АВ - несчисленний