21. Взаємне розташув 2 площ. Кут між прямою і площиною

l-напрямний вектор прямої; N-нормаль(π);

Θ-кут; π/2-θ-кут між векторами.

sinθ=cos( -θ) =

В'язка прямих на площині

Якщо задано р-ня 2 прямих на площ, що перетин в т.Р, то можна запис р-ня в'язки прямих, а саме множини всіх прямих, що прох через задану точку.

Нехай т.Р – рез-тат перетину прямих:

(L1): A1x+B1y+C1=0

(L2): A2x+B2x+C2=0

Р-ня в'язки прямих:

α(А1х+В1у+С1)+β(A2x+B2y+C2)=0, де α,β – дійсні числа, єR

1)α=β=0 – немає р-ня

2)α=0; βне=0 – дає р-ня L2

3) αне=0; β=0 – дає р-ня L1

Якщо припустити αне=0, то позначимо λ=β/α і одержимо наступне р-ня в’язки

А1х+В1у+С1+λ(А2х+В2у+С2)=0

В'язка площин в просторі

Множина всіх площин, що прох через пряму, задану загал р-ням:

Нехай пряма L в просторі задана як рез-т перетину 2 площин:

(π1): А1х+В1у+С1z+D1=0

(π2): A1x+B1y+C2z+D2=0

Р-ня в’язки площин:

α(А1х+В1у+С1z+D1)+β(A2x+B2y+C2z+D2)=0

Якщо λ=β/α можна записати

А1х+В1у+С1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0

22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.

1) Еліпсом називається множина точок площини, для яких сума відстаней до 2-ох фіксованих точок(фокусів) є величиною сталих.

Складемо рівняння еліпса

Нехай F1,F2 –фокус еліпса. Якщо F1=F2 то еліпс являється колом.

Вибираємо систему координат так, щоб фокуси мали координати

F1(-c;0) F2(c;0) c > 0 |F1 F2| = 2c Беремо довільну точку М(х;у)

|M F1| = r |M F2| = r ; r , r - фокальні радіуси точки еліп: r + r =2a, a>0 a>c(з властивостей сторін трикутника)

r = |M F1| = r = |M F2| =

підставляємо в рівняння зв’язку і будемо мати

+ =2а;(x + c) + y =4a - 4a + (x-c) + y a =a - cx

a x - 2a cx +a c + a y = a - 2a cx + c x (a - c )x + a y = a (a - c )

b= b = a - c

b x + a y = a b інакше

+ =1

Властивості еліпса:

1)|x| ≤ a ; |y| ≤ b еліпс знаходиться в серед прямок із сторонами 2а і 2b еліпс має 2 осі симетрії , та центр симетрій. якщо еліпс задано р-м 1, то ОХ, ОУ –вісі симетрії 0-центр симетрії.Вісі симетрії назив гол осями еліпса, центр симетрії-центром еліпса.точки перет еліпса з головними осями називаються ВЕРШИНАМИ еліпса

2) Еліпс є результатом стиснення кола.

23. Гіпербола – множина точок площини, різниця відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) є величиною сталою.

F₁(-c;0) F₂(c;0) c>0 |r₁-r₂|=const=2a c>a r₁=√((x+c)² +y²); r₂=√((x-c)²+y²

|√((x+c)² +y² ) - √((x-c)² +y² )| =2a

x²/a² - y²/(c²-a²) = 1 ;c² - a²=b² ;

x²/a² - y²/b²=1 – канонічне р-ня гіперболи а,b –довж півосей гіперболи

Властивості:

1. x²/a²>=1 точки гіп. розташ в обл |x|>=a. В смузі|x|<a точок Г нема

2. Г. Має 2 вісі симетрії Ох і Оу, центр симетрії – точка О

3. Г. має 2 вершини А₁(-а;0) А₂(а;0)

Точок перетину з віссю Оу не має. Оу – уявна вісь, Ох – дійсна вісь.

4. можна довести, що Г. Має 2 асимптоти у=(b/a)x і у= - (b/a)x

5. одноч з розглянутою гіперболою вводять спряжену гіперболу, яка задається рівнянням x²/a² - y²/b²= -1 В₁=(0;-b) В₂=(0;b)

6. Ексцентриситет гіперболи – Е=с/а>1

Директриси: х=а/Е і х= - а/Е

Властивість директриси Г: r₁/d₁=r₂/d₂=E

Фокальні радіуси для правої частини Г: r₁=Ex+a r₂=Ex – a лівої: r₁= - Ex + a r₂= - Ex – a.

24. Парабола – множина точок площини рівновіддалених від заданої точки (фокуса) та заданої прямої (директриси).

Позначимо відстань від фокуса до директриси р.

F(p/2;0)

D: x=-p/2

M(x;y) – поточна точка

d=r ( d=відстань від точки М до директр, r=відстань від М до фокуса)

p/2+x=√((x-p/2)² +y²)

(p/2+x)²=(x-p/2)²+y²

y²=2px –канонічне р-ня параболи, де р-параметр (р=відстань від фокуса до директриси)

Властивості

1. Параб має вісь симетр Ох та верш. Пар лежить правіше осі Оу.

2. E=r/d=1

3. Якщо парабола симетрична відносно Оу, то її рівняння x²=2py

25.Крив 2 порядку назив. множ точок площ, що задовольняють р-ня

З’ясуємо, що являє собою крива 2-го порядку геометрично. Для цього спочатку повернемо систему координат на кут проти годинникової стрілки так, щоб у рівнянні зник добуток .

Випишемо коефіцієнти при в рівнянні кривої

Якщо Якщо

Вважаємо, що поворот с-ми коорд відбувся, тоді р-ня кривої:

Розглянемо такі випадки:

1 . Зробимо заміну змінних

а) одного знаку протилежного С, тоді ця крива еліпс.

б) протилежних знаків, тоді на виході крива гіпербола.

в) одного знаку уявна крива

г) різних знаків – дві прямі, що перетинаються

д) одного знаку – дійсна точка

2 . Нехай

а) - парабола б) - різн знаків, пара парал пр в) - одн знаку, пара уяв пр г) - пара пр, що збіг

26.Матрицею А розмірів назив. сукуп чисел (елем матриці) розміщ у вигляді прямокутної таблиці, яка має m-рядків і n-стовпців

Мат А і В назив. рівними,якщо вони мають одн розм і їх відп елем рівні

Види матриць

1) Матриця, всі елементи якої рівні нулю назив. нульовою (θ)

2) матриця назив. квадр порядку n, якщо m=n. (інша-прямокутна)

3) М, що скл з одного стовпця (рядка) назив. матрицею-стовп (-ряд). Ці матриці також назив векторами.

4) М розм назив. транспон до М А, розмірів , якщо одерж з А перетвор стовпців у рядки з тим самим номером

5) М А назив. симетрич (кососиметричною), якщо

6) Діагонал елем М А назив. його ел , решта ел назив. позадіаг. Квадратна М А назив. діаг, якщо всі її позадіаг ел дорівнюють нулю.

Якщо всі діагональні ел рівні між собою, то така матр назив. скалярною. Якщо у такої матриці всі діаг ел дорівнюють 1, вона назив. одиничною.

( )

7) Якщо всі ел матриці розміщ нижче(вище)гол діаг = 0, то така М назив. верхньою(нижньою) трикут.

8) Квадратна М А назив. невиродж (виродж), якщо (det A=0)

Лінійні операції

Сумою матриць А і В однак розмірів назив. матр А+В тих же розм ел якої дорівн сумам відпов ел матриць А і В. - ij-ий ел М А+В

Добутком матриці А на число назив. М тих самих розмірів, що і А, ел якої є добутк відпов ел А на число

Властивості лінійних операцій над матрицями

1) 1 А=А 1=А

2) 0 А=А 0 = 0(нуль-матриця)

3)

4) А+В=В+А (комутативність)

5) А+(В+С)=(А+В)+С 6) (дистрибутивність)

7) 8) А+О=А 9)

10)