43.Підпр, утвор ровязк однор слр

Розглянемо СЛР відносно невідомих х1,х2,…,хен:

а11х1+а12х2+…+а1енхен=b1

… (1)

аем1х1+аем2х2+…+аеменхен=bm

Позначимо через А=(aij) i=1,m j=1,n матрицю с-ми(матр коеф при невідом) х=(х1,х2,…,хен)^т – вектор невідомих, b=(b1,b2,…,bm)^т - вектор вільних членів.

Тоді (1) набуває вигл Ax=b.

Введемо розширену матрицю с-ми A_b=(A b), яка отрим з матриці с-ми приєднанням до неї стовпця вільних членів.

Упорядкована суку знач невідом х1,х2,…,хен, яка задовольн кожне з р-нь назив розв’язком с-ми.

Тривіальний розв с-ми: Ах=0.

Теорема: Якщо А є ем х ен-матрицею рангу r, то множ всіх розв с-ми Ах=0 утворює n-r –вимір підпр прост R_n

Очевидно, що коли х' і х'' є розв-ми с-ми Ах=0, то αх'+βх'' теж є розв цієї с-ми, тобто множ розв утвор підпростір простору R_n. Базис цього підпр назив фундаментальною с-мою розв’язків.

Розвязки Ах=0 мають вигляд:

х=(у)(-A11^-1A12z)=Bz; B=(-A11^-1A12)

(z)( z ) ( E_n-r )

44 Неоднор системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі

Розглянемо неоднорідну СЛР Ах=b, b≠0.

Теорема Кронекера-Капеллі

Для того, щоб НСЛР була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи= рангу розширеної матриці системи. Тобто r(A)=r(A_b), де A_b-розширена матриця системи. Доведення

r(A)=r(A_b) <=> b – лінійна комбінація стовбців А, тобто коефіцієнт цієї лінійної комбінації і є розв. с-ми .

Теорема (про структуру заг. розв. НСЛР)

Загальний розв’язок НСЛР=сумі загального розв’язку ОСЛР та окремого розв’язку НСЛР.

Доведення

Х – загальний розв’язок ОСЛР, f₀ - розв’язок НСЛР. (х+ f₀) – загальний розв’язок НСЛР. А(х+ f₀)=Ах+А f₀=0+b= b. х+ f₀ - розв’язок НСЛР, що і треба було довести

Теорема: Всі розв неон с-ми Ax=b утвор в аф просторі S_n площину вимірності n-r

Р-ня цієї площини x=f₀+ , де f₀ – окремий розв НСЛР f1,f2,…,fn-r- фундамент с-ма розв.

Теорема: В аф просторі S_n і в будь-яких аф корд усяка ем-вимірна площ може бути задана с-мою Ах=b з матрицею А рангу n-m

Наслідок: Гіперплощина визнач одним лін р-ням

Кожне з р-нь с-ми Ах=b з матрицею рангу n-m розглядається як р-ня гіперплощини і кожну ем-вимірну площину розгляд як перетин n-m

45.Лп та їх матриці. Дії над лп. Обернене лп.

О. ЛП А у векторному просторі R назив правило, за яким кожному вектору х, що є R ставиться у відповідність вектор Ах, який теж є R так, що виконується:

1)А(х+у)=Ах+Ау, якщо вектори х,у є R

2)А(αх)=αАх, якщо хє R, αє R

Тривіальне ЛП: Ах=х. Воно познач Е.

Дії над ЛП:

1)Сумою ЛП А і В назив ЛП А+В, що визнач рівністю (А+В)х=Ах+Вх

2)добутком ЛП А на число λ назив ЛП λА таке, що визначається рівністю (λА)х=λАх

3)Добутком ЛП А та ЛП В назив ЛП АВ, що визнач рівністю (АВ)х=АВх

Зауваження: АВне=ВА

Властивості множення:

1)А(ВС)=(АВ)С 2)АЕ=ЕА=А 3)(А+В)С=АС+ВС 4)С(А+В)=СА+СВ

ЛП А^-1назив оберненим відносно ЛП А, якщо викон рівності А^-1А=АА^-1=Е

Нехай є векторний простір R_n, його базис е1,е2,…,еен, є ЛП А. Застосуємо це ЛП до базисних векторів вект прост R_n. Розкладемо їх за базисом:

Ае_j= αij ei, j=1,n

Матриця А= а11 а12…а1ен

а21 а22…а2ен -матриця ЛП А в базисі е1,е2,…,еен

………………….

аен1 аен2 аенен

Позначимо (х1,х2,…,хен)^т і (у1,у2,…,уен)^т – матриці-стовпці корд векторів х,у у базисі е1,е2,…,еен простору R_n

Припустимо, що у=Ах, тоді за означенням ЛП:

у=Ах=А . Звідки

у_і= , i=1,n

Отже, (у1,у2,…,уен)^т=А(х1,х2,…,хен)^т – будь-якому ЛП А у вибраному базисі відповідає кв матриця А, при чому j-й ст. матр А склад з корд вектора Аej.

Теорема: Якщо у вектор прост R_n задано базис е1,е2,…,еен та невиродж матрицю А ен-го порядку, то існує єдине ЛП, матриця якого =А у базисі е1,е2,…,еен.