3.1.Г. Расчет цепи с синусоидальными токами и

НАПРЯЖЕНИЯМИ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Расчет подобной цепи целесообразно проводить в следующей последовательности:

- переход от синусоидальных функций источников к их комплексным амплитудам (комплексным действующим значениям);

- вычисление комплексных сопротивлений элементов;

- переход к расчетной схеме для комплексных сопротивлений и комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) токов и напряжений;

- расчет комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) искомых токов и напряжений;

- проверка правильности решения по уравнению баланса комплексных мощностей;

- восстановление синусоидальных функций (функций-оригиналов) искомых токов и напряжений по их комплексным амплитудам.

Пример расчета

Линейная электрическая цепь, схема которой приведена на рис.3.6,а, содержит идеальный источник синусоидального напряжения и потребитель, представляющий последовательно-параллельное соединение элементов .

Параметры источника и элементов потребителя заданы: В; рад/с; Гн; Ом; Ф.

Требуется определить реакции цепи в установившемся режиме, используя метод комплексных амплитуд.

Рис.3.6. Исходная схема электрической цепи (а), ее расчетная схема (б)

В большинстве подобных задач удобно для установившихся режимов принимать начальную фазу источника . В этом случае фазовые сдвиги всех реакций можно отсчитывать от условного нуля. С учетом этого допущения комплексная амплитуда напряжения источника будет определяться: , В.

Комплексные сопротивления компонентов цепи:

, Ом; , Ом; Ом.

Комплексное сопротивление параллельного соединения :

, Ом.

Комплексная амплитуда тока источника: А.

Комплексные амплитуды напряжений:

, В.

Комплексные амплитуды токов:

, А; , А.

Комплексная амплитуда напряжения :

, В.

Комплексная мощность источника:

ВА.

Комплексная мощность потребителя (пассивной части цепи):

, ВА,

где:

ВА;

ВА;

.

Вывод: .

Окончательно комплексные амплитуды реакций:

Реакции в области "t":

3.1.Д. Линейные цепи с источниками синусоидальных сигналов разной частоты

Анализ установившихся режимов в линейных цепях с источниками синусоидальных сигналов разной частоты может быть проведен методом наложения с использованием комплексных амплитуд. Комплексные амплитуды или комплексные действующие значения составляющих реакций определяются для каждого источника в отдельности.

Затем составляющие каждой реакции отображаются во временную область соответствующими синусоидальными функциями.

Операции наложения (суперпозиции составляющих каждой реакции) проводятся только относительно мгновенных значений составляющих в области "t". Алгебраически суммируются мгновенные значения для каждого момента t.

Действующее значение каждой реакции определяется по теореме Парсеваля, как корень квадратный из суммы квадратов действующих значений составляющих этой реакции, поскольку в данном случае каждая составляющая какой-либо реакции является определенной гармонической составляющей функции этой реакции.

Активные мощности определяются от каждого источника в отдельности, а результаты суммируются.

Относительно простым вариантом в этом случае являются линейные цепи, в которых действуют источники сигналов синусоидальной формы с кратными частотами (периодами). В установившихся режимах токи и напряжения реакций в таких цепях будут периодическими несинусоидальными функциями.

Период несинусоидальных реакций определяется периодом сигнала наименьшей частоты (наибольшего периода).

Формы реакций зависят от соотношений (кратности) частот сигналов, их начальных фаз и амплитуд.

В качестве примера рассмотрим линейную цепь с двумя источниками синусоидальных сигналов, имеющих кратные частоты. Схема цепи представлена на рис. 3.7,а.

Рис.3.7. Исходная схема электрической цепи (а), расчетные схемы:

с источником (б) и источником (в)

Параметры источников и элементов цепи: А; Гн; ; рад/с; Гц; рад/с; Гц.

Комплексные амплитуды источников: , В, , А. Комплексные сопротивления элемента L для соответствующих частот :

, Ом; , Ом.

Определяем составляющие реакций на сигнал источника , исключив из цепи источник . Используем расчетную схему для комплексных амплитуд этих составляющих рис.3.7,б.

, А;

где , Ом.

, В;

, В.

Составляющие реакций в области "t":

, А; , В;

, А; , В.

Определяем составляющие реакций на сигнал источника , исключив из цепи источник .

Используем расчетную схему для комплексных амплитуд рис.3.7,в.

, В,

где , Ом.

, В.

, А,

, А.

Составляющие реакций в области "t":

, А; , В;

, А; , В.

Результирующие реакций в области "t":

, А;

, А;

, В;

, В.

Действующие значения реакций определяем по теореме Парсеваля:

А.

Аналогично для остальных реакций:

А;

В;

В.

Определяем составляющую активной мощности, рассеиваемой цепью, от источника :

Вт,

где – угол сдвига между начальной фазой напряжения источника и начальной фазой тока .

Активная мощность рассеивается только на резистивном элементе R. Поэтому можно рассчитать ее значение и по формуле:

Вт.

Составляющая активной мощности от источника :

Вт,

где - угол сдвига между начальными фазами и .

Вт.

Суммарная активная мощность от действия двух источников Вт, или Вт.