3. Установившиеся режимы в линейных цепях с источниками периодических напряжений и токов

3.1. Основные понятия и соотношения

3.1.А. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ

СИГНАЛОВ ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ

Если в линейной цепи действуют источники периодических напряжений и токов с одинаковым периодом Т (частотой ), то в установившемся режиме во всех элементах этой цепи будут действовать периодические напряжения и токи этого же периода Т (частоты f ).

Наибольший интерес в данном случае представляют периодические напряжения и токи, являющиеся синусоидальными функциями времени.

Напряжения и токи синусоидальной (или близкой к ней) формы получили весьма широкое распространение в электроэнергетике благодаря возможности трансформации напряжений, простоте конструкций электрических генераторов и двигателей. В радиоэлектронике синусоидальные колебания используются в качестве высокочастотного несущего сигнала при передаче информации.

Кроме этого, синусоидальный (гармонический) сигнал с методической точки зрения является в теории цепей базовым (или типовым) при анализе процессов в частотной области и при получении необходимых в практике частотных характеристик различных электромагнитных устройств и систем.

Синусоидально изменяющиеся во времени напряжения и токи (см. рис.3.1) характеризуются следующими параметрами:

- , - амплитудные (максимальные) значения;

- – частота (угловая), рад/с;

- – частота (циклическая), Гц;

- Т – период, с;

- - начальные фазы.

Рис.3.1. Синусоидальные напряжение и ток

Положительные начальные фазы и откладываются от начала координат влево, отрицательные – вправо.

По оси ординат откладываются мгновенные значения функций в вольтах и в амперах.

По оси абсцисс откладывается или время t в секундах, или пропорциональная ему угловая величина в радианах. Поэтому периодом будет являться или Т [с], или [рад].

Разность начальных фаз напряжения и тока называется углом сдвига фазы тока по отношению к напряжению. При ток и напряжение совпадают по фазе (синфазны), при - противоположны по фазе ( в противофазе ), при - находятся в квадратуре, если - ток отстает от напряжения, если - ток опережает напряжение.

Линейные операции с синусоидальными токами и напряжениями одинаковой частоты изменяют только амплитуду и начальную фазу. Например, при синусоидальном напряжении на емкости получаем ток:

,

где - амплитуда, - начальная фаза. На емкости ток опережает напряжение по начальной фазе на .

Очевидно, что в линейных электрических цепях с источниками напряжений (токов) синусоидальной формы одной частоты установившийся режим характеризуется синусоидальными токами и напряжениями, отличающимися только амплитудами и начальными фазами.

Поэтому при заданных параметрах источников в общем случае расчет реакций заключается в вычислении амплитуд и начальных фаз искомых реакций. Математическая модель цепи может строиться на основе уравнений элементов

( компонент ) и уравнений соединений.

Однако, решение уравнений цепи с источниками синусоидальных напряжений и токов требует выполнения многочисленных весьма громоздких операций сложения синусоидальных функций. Поэтому в инженерной практике для выполнения расчетов используется метод комплексных амплитуд, существенно упрощающий задачи анализа и сводящий, по существу, вычислительный процесс к арифметике комплексных чисел.

3.1.Б. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Основной смысл метода заключается в отображении математической модели цепи (уравнений цепи), в которой переменные являются синусоидальными функциями времени, из области реального времени t в область комплексной переменной " " ( комплексной частоты ), где - мнимая единица.

Процесс отображения синусоидальной функции времени в комплексную область " " можно достаточно наглядно проиллюстрировать на рис.3.2.

Re

Рис.3.2. Отображение синусоидальной функции в область комплексной переменной

Оси ординат (мгновенных значений функции ) области "t" ставится в соответствие ось мнимых чисел в области " ", а оси абсцисс t - ось вещественных чисел . На комплексной плоскости проводится окружность радиусом с центром в начале координат.

Моменту времени соответствует мгновенное значение - точка 1 на оси u. Отобразим точку 1 области "t" как проекцию на окружность в области " " в точку . Соединим начало координат комплексной плоскости с точкой . Присвоим отрезку ( ) свойства вектора на комплексной плоскости. Очевидно, что проекция вектора на ось Im соответствует мгновенному значению , а угол - значению начальной фазы функции .

При изменении временной координаты t ( t₁ … t₈ ) мгновенным значениям будут соответствовать точки 2,3,…,8. Отображениями этих точек в области " " будут точки на окружности с соответствующими положениями вектора.

Непрерывному изменению функции в области "t" соответствует непрерывное вращение изображающего вектора на комплексной плоскости с частотой против часовой стрелки. Окружность является годографом вектора, модуль которого равен амплитудному значению функции , а аргумент определяется как .

Таким образом, отображение синусоидальной функции времени в область комплексной переменной " " можно представить вектором на комплексной плоскости, вращающимся с частотой ω против часовой стрелки, имеющим модуль, равный амплитуде функции и аргумент, равный мгновенному аргументу функции.

Вращающийся на комплексной плоскости вектор математически можно представить в показательной форме экспоненциальной функцией:

. (3.1)

Выражение (3.1) соответствует формуле Эйлера.

Будем называть функцию реального времени функцией-оригиналом, а функцию комплексной переменной – функцией-изображением на комплексной плоскости (в области " "). Комплексную экспоненциальную функцию можно представить следующим образом:

, (3.2)

где - комплексная амплитуда, причем - модуль комплексной амплитуды, равный амплитудному значению функции , - аргумент комплексной амплитуды, равный значению начальной фазы .

Аргумент отсчитывается от полуоси : - против часовой стрелки, - по часовой стрелке. Комплексная амплитуда не зависит от времени и является комплексным числом.

Множитель называется оператором вращения. Наличие его означает вращение комплексного вектора во времени t на комплексной плоскости с частотой ω в положительном направлении против часовой стрелки. Оператор вращает вектор по часовой стрелке.

Комплексная амплитуда соответствует положению вектора на комплексной плоскости в начальный момент времени ( рис.3.2 ).

Комплексная амплитуда , как всякое комплексное число, может быть представлена в трех формах:

- в показательной

; (3.3)

- в алгебраической

, (3.4)

где – вещественная часть (вещественной число),

– вещественный множитель при мнимой единице, - мнимая часть числа ;

- в тригонометрической

. (3.5)

Между тремя формами очевидна следующая связь:

(3.6)

В вычислительном процессе наиболее удобными являются показательная и алгебраическая формы. Тригонометрическая форма используется только для взаимного перехода показательной и алгебраической форм.

При отображении уравнений линейных элементов или уравнений линейной цепи из области "t" в область " ", обе части каждого уравнения можно сократить на оператор (множитель при всех комплексных амплитудах). Таким образом, в вычислительном процессе будут использоваться соответствующие уравнения для комплексных амплитуд реакций и сигналов. Например, уравнение идеального резистивного элемента отображается в область " ", как , которое можно записать следующим образом: . После сокращения обеих частей этого уравнения на имеем уравнение элемента для комплексных амплитуд .

В таблице 3.1 приведены отображения уравнений идеальных элементов и источников для комплексных амплитуд.

Таблица 3.1