3.1 Примеры решения задач и контрольное задание по разделам молекулярно-кинетическая теория и статистическая физика Методические указания

Задачи по молекулярной физике можно условно разделить на три основные группы: 1) задачи на определение массы молекул, количества вещества и концентрации молекул; 2) задачи о состоянии идеальных газов и на изопроцессы в газах; 3) задачи на распределение молекул газа по скоростям и потенциальным энергиям, на определение кинетической энергии молекул и на характеристические скорости молекул.

При решении задач первой группы массу молекулы вычисляют по формуле m_о = ; для определения количества вещества пользуются формулой , а для определения числа молекул – формулой N =  N_A .

При решении задач второй группы сначала выясняется, изменяется ли состояние газа или не изменяется. Если состояние газа не изменяется, то есть задано одно состояние, то используется уравнение Менделеева-Клапейрона. Если состояние газа изменяется, то есть в задаче заданы некоторые параметры газа в начальном и конечном состояниях, то для определения других параметров уравнение Менделеева-Клапейрона за­писывается для этих двух состояний, а затем из полученной системы находятся искомые величины. Иногда, если это необходимо, используются дополнительные уравнения, связывающие искомые величины или параметры состояния, исходя из условия задачи.

Задачи третьей группы решаются с помощью распределений Максвелла и Больцмана, барометрической формулы, а также с помощью соответствующих формул для и .

Пример 30. Найти молярную массу μ серной кислоты H₂SO₄.

Решение

М олярная масса вещества определяется по формуле μ = =kMr. Здесь обозначено k = 10кг/моль, Mr - относительная молекулярная масса вещества, , где n_i - число атомов i-го химического элемента, A_ri - относительная атомная масса химического элемента из таблицы Менделеева. Для серной кислоты имеем:

Окончательно получаем μ = 98·10^-3 кг/моль.

Пример 31. Определить количество вещества ν и число N молекул азота массой m =0,2 кг.

Решение

Молярная масса азота μ = kM r= k(2Ar) =28·10^-3 кг/моль. Количество вещества азота ν=m/μ=0,2/(28·10^-3)=7,14 моль. В одном моле вещества содержится число молекул, равное числу Авогадро. Поэтому, для искомого числа молекул азота получаем N = νN_A= 4,3·10²⁴ молекул.

Пример 32. В баллонах вместимостью V₁= 20 л и V₂= =44 л содержится газ. Давление в первом баллоне p₁=2,4 МПа, во втором p₂=1,6 МПа. Определить общее давление p и парциальные давления p′₁ и p′₂ после соединения баллонов, если температура газа осталась прежней.

Решение

Уравнения состояния газов до их смешивания можно записать в виде:

Уравнения состояния газов после смешивания записываются в виде:

Замечая, что правые части соответствующих уравнений совпадают, получаем для парциальных давлений выражения:

Согласно закону Дальтона полное давление равно сумме парциальных давлений p = p′₁+p′₂ = 1,85 МПа.

Пример 33. Определить количество вещества ν и концентрацию n молекул газа, содержащегося в колбе вместимостью V = 240 см³ при температуре T = 290 К и давлении p =50 кПа.

Решение

К онцентрацию n молекул газа можно найти из уравнения состояния записанного в виде p = nkT, где k - постоянная Больцмана: ^.

И з уравнения состояния Клапейрона-Менделеева pV = νRT получаем для количества вещества следующее выражение

Пример 34. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна v_кв=450 м/с. Давление газа равно . Найти плотность газа при этих условиях.

Решение

Запишем основное уравнения молекулярно-кинетической теории в виде:

где m - масса молекулы, v_кв - средняя квадратичная скорость, n – концентрация молекул. Плотность вещества по определению есть ρ = nm. Тогда выражение для давления принимает вид . Отсюда для плотности газа окончательно получаем:

Пример 35. Пользуясь распределением Максвелла и понятием относительной скорости u как отношения скорости молекул  к наиболее вероятной скорости в, получить то же распределение для u.

Решение

Согласно распределению Максвелла, число молекул dN(), скорость которых заключена в интервале от  до +d, определяется как

. (2.2)

Полагая  = uв и учтя, что , выражение (2.2) приведем к виду (2.3)

Это и есть распределение Максвелла в приведенном виде.

Пример 36. Какая часть молекул азота при температуре 7 С обладает скоростями в интервале от 500 до 510 м/с

Решение

Сначала вычислим u и u:

407,7м/с; 1,22; 1,25; u= u₂-u₁=0,03; u= (u₁+u₂) = 1,235.

Указанную в задаче величину N/N удобно определить по формуле (2.3), заменив в ней дифференциалы конечными приращениями.

Подставляя полученные значения u и u в формулу (2.3), будем иметь %.

Пример 37. Определить высоту горы, если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря. Температуру считать всюду одинаковой и равной 0°С.

Решение

Данная задача решается с помощью барометрической формулы. , откуда получим . Принимая молярную массу воздуха  = 2910^-3 кг/моль, найдем h;