5.2. Производная по направлению функции двух переменных

Сведения из теории

Мы рассматриваем функцию 2-х переменных . В общем случае переменные и могут изменяться одновременно и независимо друг от друга в области определения функции. При введении частных производных мы рассматривали два частных способа изменения и , а именно, когда одна переменная меняется, а вторая нет. Теперь введем понятие производной функции 2-х переменных при условии, что обе переменные меняются одновременно.

Обсудим один методический момент. Производная по направлению выводится в предположении, что точка удаляется от точки по прямой линии. Это предположение кажется неестественным, поскольку предполагается, что и могут изменяться совершенно произвольно. Следовательно, точка может удаляться от точки по произвольной траектории. Но понятие производной по направлению вводится в предположении, что расстояние от точки до точки стремится к 0. В этом случае любой криволинейный кусок траектории можно заменить куском касательной прямой, проведенной к этой траектории в точке . Именно поэтому во всех дальнейших рассуждениях мы будем предполагать, что точка удаляется от точки по прямой линии.

Выведем формулу для вычисления производной функции 2-х переменных по направлению. Для этого должны быть даны три объекта:

конкретная функция 2-х переменных ;
конкретная точка, в которой вычисляется производная (разумеется, точка может быть обозначена любой другой буквой);
направление, в котором вычисляется производная (может быть задано либо вектором , либо направлением движения от точки к точке, либо углами и , образованными прямой с положительным направлением координатных осей). Относительно углов и оговорим следующее: угол может принимать только положительные значения из интервала . Угол при этом произвольным уже не является, он находится через угол по формуле . Из этой формулы получается, что угол может получиться отрицательным (полученным вращением луча от оси ОY по часовой стрелке).

Если все перечисленные объекты известны, то формула производной данной функции в данной точке по заданному направлению вектора имеет вид

В этой формуле нужно пояснить вычисление направляющих косинусов и в том случае, когда направление задано вектором. Вектор задан своими координатами .

Вычислим длину вектора : . Тогда направляющие косинусы вектора находятся по формулам:

: .

Посмотрим на формулу производной по направлению с точки зрения векторов. Введем вектор с координатами . Для конкретной функции и конкретной точки он определен однозначно. Он называется градиентом функции в точке и обозначается