5. Определение производящего многочлена циклического систематического (n, k) кода

Производящий многочлен циклического систематического (n, k) кода должен удовлетворять следующим условиям:

1. Старшая степень полинома должна составлять число (n – k);

С учётом определённого ранее параметра n и заданного условием параметра k, можно утверждать, что старшая степень определяемого в данной стадии курсового проектирования производящего многочлена должна соответствовать числу:

(n – k) = (20 – 11) = 9.

2. Многочлен (xⁿ + 1) должен делиться на g(x) без остатка;

В данном примере, n = 20, таким образом, можно записать делимое: (x²⁰ + 1). Делителем в выражении будет выступать полином, выбранный мною в качестве производящего многочлена данного кода. Примем производящим многочлен вида:

g(x)=x⁹+x⁸+ x⁷+x⁶+ x⁵+x⁴+ x³+x²+ x¹+x⁰

Получаем:

Здесь h(x) = x¹¹ + x¹⁰ + x¹ + 1 – проверочный многочлен (в данном случае, он выступает, как частное). Остаток R(х) равен 0, это означает, что второе условие тоже выполняется.

3. Производящий многочлен g(x) циклического кода, исправляющего одиночные ошибки, должен раскладываться на 3 части.

Подведём итог данного этапа работы. Получен производящий многочлен вида: g(x)=x⁹+x⁸+ x⁷+x⁶+ x⁵+x⁴+ x³+x²+ x¹+x⁰

Его старшая степень составляет число (n – k), он является делителем многочлена (xⁿ + 1), что свидетельствует о том, что данный код призван исправлять тройные смежные ошибки.

6. Теоретическое определение кодовой комбинации

Для теоретического определения передаваемой кодером в канал кодовой комбинации V, следует задать передаваемую информационную комбинацию L, и выполнить над ней то же преобразование, что произвела бы и схема кодера, то есть операцию умножения информационной комбинации на многочлен, который являет собой соотношение (2):

g(x) = x^{n – k} = x⁹. (2)

Таким образом, первый множитель определён. Для определения второго, зададимся произвольной информационной комбинацией, например, приведённой в

l(x)=x¹⁰ + x⁶ + x⁴ + х² + х⁰. (3)

соотношении (3). Можно было взять любой иной полином, существует всего одно ограничение. Оно состоит в старшей степени кодовой комбинации. Эта степень не может составлять или превышать числа информационных элементов комбинации, то есть, числа k [то есть, составляет (k – 1)]. Произведём операцию умножения многочлена на многочлен:

l(x)∙х^n-k =( x¹⁰ + x⁶ + x⁴ + х² + х⁰)∙x⁹= x¹⁹+x¹⁵+x¹³+x¹¹+x⁹

Полученная в результате умножения комбинация x¹⁹+x¹⁵+x¹³+x¹¹+x⁹, должна быть приведена к выбранному ранее производящему многочлену кода. Это действие можно произвести путём деления многочлена на многочлен (полученного выше на производящий), с последующим суммированием остатка от деления с полученным выше полиномом. Произведём деление для определения остатка:

Как видно из произведённых действий, остатком от деления является многочлен:

x⁵+x³+x¹= R(x)

Для завершения выполняемой операции, требуется сложить полученный многочлен R(x) с полученным выше многочленом x¹⁹+x¹⁵+x¹³+x¹¹+x⁹, представляющим собой первые k разрядов кодовой комбинации. Тогда, в соответствии с формулой (4), мы получим

(4)

искомую кодовую комбинацию V. Произведём операцию сложения в соответствии с формулой (4):

.