Линейная алгебра. Вопросы к экзамену. Формулировки.

Раздел 1. Матрицы и определители.

1) Треугольная матрица – квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны 0.

Левая треугольная: a_ik = 0, когда i < k

Правая треугольная: a_ik = 0, когда i > k

2) Диагональная матрица – квадратная матрица, все элементы которой a_ik = 0 при i = k

Скалярная матрица – квадратная матрица, где a_ii все равны, и a_ik = 0 при i = k

Единичная матрица – скалярная матрица, где a_ii = 1, и a_ik = 0 при i = k

3) Симметричная матрица – матрица, в которой a_ik = a_ki

Кососимметричная матрица – матрица, в которой a_ik = -a_ki

4) Ортогональная матрица – A∙A^T=αE

Ортонормированная матрица – A∙A^T=αE, где α=1 => A^T=A^-1

Инвалютивная матрица – A²=E

Идемпотентная матрица – A²=A => Aⁿ=A

Замечание 1: любая ортогональная матрица имеет обратную, но не любая обратная ортогональна.

Замечание 2: если матрица: инвалютивна и ортогональна, то она симметрична

: инвалютивна и симметрична, то она ортогональна

: ортогональна и симметрична, то она инвалютивна

5) Элементарные преобразования над матрицей.

а) перестановка строк/столбцов

б) умножение строки/столбца на число α≠0

в) прибавление к строке/столбцу другой строки/столбца, умноженной на α≠0

г) вычеркивание строки/столбца со всеми элементами =0

д) транспонирование

Ступенчатая матрица – матрица, у которой каждая строка кроме первой, начинается со строго большего числа нулей, чем предыдущая.

6) Линейное пространство над полем К.

Пусть задано множество М, для всех элементов которого определены две операции:

1. для любых А, В из М, сумма А+В принадлежит М

2. для любого А из М и k из К, произведение kA принадлежит М

и для этих операций выполняются следующие свойства:

1. для любых А,В из М выполнено А+В=В+А

2. для любых А,В,С из М выполнено (А+В)+С=А+(В+С)

3. для любого А из М найдется О из М, что выполнено А+О=А

4. для любого А из М найдется –А из М, что выполнено А+(-А)=0

5. для любого А из М и α,β из К выполнено (α+β)А=αА+βА

6. для любых А,В из М и α из К выполнено α(А+В)= αА+ αВ

7. для любых А,В из М и α,β из К выполнено (αβ)А= α(βА)

8. для любого А из М найдется 1, что выполнено 1∙А=А

то множество М называется линейным пространством над полем К.

7) Транспонированная матрица – матрица, преобразованная из исходной путем замен строк столбцами или наоборот.

Обратная матрица – такая матрица А^-1, что выполняется: A∙A^-1=A^-1∙A=Е

- квадратная невырожденная матрица

8) Определитель n-ого порядка – алгебраическая сумма всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками (определяются четностью/нечетность перестановки)

9) Свойства определителя:

1. А => |A|=|A^T|

2. если в А существует 0-ая строка/столбец то |A|=0

3. если в А поменять местами 2 столбца/строки, то |A| новой матрицы поменяет знак

4. если в А две строки/столбца равны, то |A|=0

5. если строку/столбец матрицы А умножить на α≠0, то |A| умножится на это же число

6. если в А две строки/столбца пропорциональны то |A|=0

7. если элементы любой строки/столбца умножить на α≠0 и прибавить к другой строке/столбцу, то |A| не изменится

8. |диагональной А| = |треугольной А| = произведению элементов главной диагонали

10) Алгебраическое дополнение элемента – число, определяемое по формуле:

A_ij=(-1)^i+j ∙ M_ij

Минор элемента – определитель порядка (n-1), получаемый из данного, путем вычеркивания в нем строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент.

M_ij

11) Взаимная матрица – матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов A^T.

Понятие взаимной матрицы используется для нахождения обратной матрицы:

A^-1 ∙ A=E, где |A|≠0

1. |A|≠0

2. A^T

3. A* (взаимная матрица)

4. A^-1= (1 / |A|) ∙ A*