Раздел 3. Векторная алгебра
1) Координатное определение вектора, сумма и произведение векторов.
Упорядоченная совокупность n чисел a1, a2…an называется n-мерным вектором и обозначается a=(a1, a2…an), где числа a1…an – координаты вектора, а число n – размерность вектора.
Суммой двух векторов a=(a1, a2…an) и b=(b1, b2…bn) называется вектор с=а+b, каждая координата которого равна сумме одноименных координат слагаемых векторов c=a+b=(a1+b1, a2+b2…an+bn)
Произведением числа λ на n-мерный вектор a=(a1, a2…an), называется вектор
λa= a=(λa1, λa2…λan)
2) Скалярное произведение векторов
– пусть задано n-мерное
пространство Rn
над полем действительных чисел и вектора
с
координатами x=(x1,x2…xn)
и y=(y1,y2…yn),
тогда выражение
называется скалярным произведением
векторов.
Если в n-мерном векторном пространстве Rn определено скалярное произведение, то такое векторное пространство называют евклидовым и обозначают En.
Скалярное произведение векторов
удовлетворяет
свойствам:
а)
б)
в)
г)
,
если
и
если
Длиной (нормой) вектора
называется число:
=
Вектор, с длиной равной единице,
называется нормированным
Углом между ненулевыми векторами
называется
угол, принадлежащий промежутку [0;П] и
удовлетворяющий условию
.
Условие
гарантирует
единственное значение угла
.
3) Векторным произведением векторов a,b в пространстве R3 c ортонормированным базисом e1, e2, e3, называется третий вектор С, удовлетворяющий условиям:
а) вектор С перпендикулярен и вектору а и вектору b
б) длина вектора С равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними
|c|=|a||b|sin<(ab) (1)
в) тройки векторов {a,b,c} и {e1, e2, e3} имеют одинаковую ориентацию (либо обе правые, либо обе левые).
Обозначение векторного произведения: с=axb или c=[ab]
Из формулы (1) следует, что длина (модуль) вектора С равна площади параллелограмма, построенного на векторах a,b или S=|[ab]|
4) Представление векторного произведения через определитель координатной матрицы.
При вычислении векторного произведения удобна следующая формула: если векторы a,b заданы своими координатами a=(a1, a2, a3) и b=(b1, b2, b3), то
axb=
Тогда площадь параллелограмма будет равна:
S=|[ab]|=
5) Смешанным произведением векторов a,b,c в пространстве R3 и с ортонормированным базисом e1, e2, e3, называется число, равное векторному произведению [ab], умноженному скалярно на вектор С.
Обозначение: ([axb]),c)
6) Запись условия компланарности векторов в матричной форме.
компланарны если:
7) Представление смешанного произведения через определитель координатной матрицы.
Если векторы a,b,c
заданы своими координатами, то их
смешанное произведение вычисляется по
формуле:
8) Система векторов
евклидова
пространства называется ортогональной
если:
Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной если:
9) Линейная комбинация системы
векторов
это выражение
с
коэффициентами
10) Система векторов
называется линейно зависимой, если
найдется их линейная комбинация, равная
нулевому элементу
,
не все коэффициенты которой равны
нулю.
Свойства линейно зависимой системы векторов:
а) любое расширение линейно зависимой системы оставляет ее линейно зависимой
б) если два вектора коллинеарны, то они линейно зависимы
в) система векторов будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда ранг ее координатной матрицы меньше числа векторов.
г) если в системе присутствуют коллинеарные вектора, то система линейно зависима
11) Система векторов называется линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулю, только если все коэффициенты – тривиальные.
Свойства линейно независимой системы векторов:
а) любое сужение линейно независимой системы оставляет ее линейно независимой
б) система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ранг координатной матрицы равен числу векторов системы.
в) если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.
12) Базис векторного пространства:
Пусть
М подпространство n-мерного
векторного пространства
и
система
векторов из М. Эта система называется
базисом векторного подпространства М,
если
а) она линейно независима
б) для
любого вектора из М существуют такие
числа
,
что
линейно выражается через
,
т.е.
При
этом, линейная комбинация
называется
разложением вектора
по базису
,
а числа
координатами
вектора
в данном базисе.
13)
Координатная
матрица:
пусть дана линейная комбинация
и
числа
.
Если каждый из векторов представить в
виде:
где
1,2,3 – координаты вектора, а i
номер вектора из комбинации, то
А=
называется
координатной матрицей системы векторов.
Матрица
базисного преобразования:
пусть дан базис
в
,
тогда
-
новая система векторов (*)
переписываем
по другому:
то есть
.
Если detA
,
то матрицу А называют матрицой базисного
преобразования
14) Линейной оболочкой заданной конечной совокупности элементов векторного пространства над полем К называется множество всех линейных комбинаций этих элементов с коэффициентами из поля К. При этом сама совокупность называется порождающей системой данной линейной оболочки, а сама линейная оболочка обозначается символом L ( )
15) Свойства линейной оболочки:
а) Линейная оболочка элементов векторного пространства является подпространством М векторного пространства .
б) Линейная оболочка может совпадать со всем пространством , если образующая система является базисом в пространстве .
в) Линейная оболочка L ( ) является наименьшим подпространством, содержащим элементы . Все остальные подпространства могут только содержать вектора порождающей системы или их возможные комбинации.
16) Выражение для скалярного произведения векторов в данном базисе в координатной и матричной форме.
Пусть
- базис в
и векторы
представлены в этом базисе своими
разложениями:
и
,
тогда скалярное произведение этих
векторов имеет вид:
или
в матричной форме
где
-
столбцы координат векторов
в базисе
ассиметричная матрица А составлена из
скалярных произведений базисных
векторов
17) Определитель матрицы А скалярных произведений заданной системы векторов называют определителем Грама.
18) Метод Грамма-Шмидта
Формула:
- базис в
- ортогональный
базис
- ортонормированный
базис
