Вопрос №16
Теорема: Пусть M ≠ ∅, M* ≠ ∅, то у множества M* существует минимальный элемент.
Доказательство: Пусть M* - множество мажорант М. Тогда min M* = sup M, это точная верхняя грань множества М. Так как единственность минимума множества М* следует из теоремы о единственном минимуме множества, то осталось установить существование sup M. По свойству непрерывности можем записать:
Как мажоранта M, число
является элементом М*, но как миноранта
M*, число
является минимальным элементом множества
M* →
= sup X = min
Y и
существует, что и требовалось доказать.
Вопрос №17
Теорема: Пусть M ≠ ∅, M° ≠ ∅, то у множества M° существует максимальный элемент.
Доказательство: Пусть M° - множество минорант М. Тогда max M° = inf M, это точная нижняя грань множества М. Так как единственность максимума множества М° следует из теоремы о единственном максимуме множества, то осталось установить существование inf M. По свойству непрерывности можем записать:
Как миноранта M, число является элементом М°, но как мажоранта M°, число является максимальным элементом множества M°→ = inf X = max Y и существует, что и требовалось доказать.
Вопрос №18
Вещественное число β является супремумом М (sup M = min M* = β ) тогда и только тогда, когда:
Необходимость: Пусть β – супремум М. Тогда выполняются условия 1) и 2).
Необходимость необходимости: Для того, чтобы β являлось супремумом М необходимо, чтобы выполнялись условия 1) и 2).
Достаточность необходимости: Для того, чтобы выполнялись условия 1) и 2) достаточно, чтобы β являлось супремумом М.
Вопрос №19
Вещественное число β является супремумом М (sup M = min M* = β ) тогда и только тогда, когда:
Достаточность: Пусть выполняются условия 1) и 2). Тогда β – супремум М.
Необходимость достаточности: Для того, чтобы выполнялись условия 1) и 2) необходимо, чтобы β являлось супремумом М.
Достаточность достаточности: Для того, чтобы β являлось супремумом М достаточно, чтобы выполнялись условия 1) и 2).
Вопрос №20
Вещественное число β является инфимумом М (inf M = max M° = β ) тогда и только тогда, когда:
Необходимость: Пусть β – инфимум. Тогда выполняются условия 1) и 2).
Необходимость необходимости: Для того, чтобы β являлось инфимумом М необходимо, чтобы выполнялись условия 1) и 2).
Достаточность необходимости: Для того, чтобы выполнялись условия 1) и 2) достаточно, чтобы β являлось инфимумом М.
Вопрос №21
Вещественное число β является инфимумом М (inf M = max M° = β ) тогда и только тогда, когда:
Достаточность: Пусть выполняются условия 1) и 2). Тогда β – инфимум М.
Необходимость достаточности: Для того, чтобы выполнялись условия 1) и 2) необходимо, чтобы β являлось инфимумом М.
Достаточность достаточности: Для того, чтобы β являлось инфимумом М достаточно, чтобы выполнялись условия 1) и 2).
Вопрос №22
ε-окрестность – это такое множество, каждая точка которого удалена от данной точки х0 менее, чем на ε.
Пусть
,
тогда ε-окрестность это множество
.
Точка х0 называется внутренней
точкой М (
)
если
Внутренность множества М – это множество всех внутренних точек М.
Множество
называется
открытым, если
(то
есть любая точка множества является
внутренней).
Для двумерного многообразия:
Пусть
ε-окрестность
– это такое множество
Точка
называется
внутренней точкой М (
)
если
