Практическое занятие №7 случайные величины

Цель: Формирование навыков решения задач по нахождению дискретной функции распределения случайной величины, числовых характеристик случайных величин. Решение задач по нахождению вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в данный интервал.

Контрольные вопросы

1. Понятие случайной величины. 2. Дискретная и непрерывная случайная величина. 3. Закон распределения случайной величины. 4. Способы задания закона распределения случайной величины. 5. Полигон распределения вероятностей. 6. Понятие функции распределения дискретной случайной величины . 7. Свойства функции . 8. Плотность распределения вероятности случайной величины . Ее свойства. 9. Понятие числовых характеристик случайной величины. 10. Математическое ожидание для дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания. 11. Дисперсия для дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства дисперсии. 12. Среднеквадратическое отклонение. 13. Нормальное распределение случайной величины. 14. Свойства нормального распределения. 15. Стандартный нормальный закон распределения. 16. Как рассчитать вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону в данный интервал?

Примеры решения типовых задач

Пример 7.1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, зная закон ее распределения:

X	2	3	5	6
p	0,1	0,3	0,4	0,2

Решение:

.

Пример 7.2. В партии из семи деталей четыре окрашенные. Наудачу взяты три детали. Построить ряд и многоугольник распределения случайной величины – числа окрашенных деталей среди отобранных.

Решение:

Случайная величина может принять следующие четыре значения: , , , . Вероятности этих значений равны:

, ,

Складывая полученные вероятности, имеем:

.

Составим таблицу:

	0	1	2	3
	1/35	12/35	18/35	4/35

Построим многоугольник распределения случайной величины .

Пример 7.3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

	1	4	8
	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Решение:

Если , то , поскольку случайная величина не принимает значений меньших 1.

Если , то .

Если , то – на этом интервале принимает значение 1 с вероятностью 0,3 и значение 4 с вероятностью 0,1. Поскольку эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей 0,3+0,1=0,4.

Если , то .

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График данной функции:

Пример 7.4. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т. и средним квадратическим отклонением = 2,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60 т.

Решение:

Воспользуемся формулой:

, .

По таблице находим: , .

Таким образом:

Задачи для самостоятельного решения

7.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

	4	5	7
p	0,2	0,3	0,5

а) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

б) найти функцию распределения и начертить ее график;

7.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

	3	7	14	17
p	0,1	0,4	0,2	0,3

а) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

б) найти функцию распределения и начертить ее график;

в) ;

г) .

7.3. Согласно учетным данным рецидивисты составляют 20 % от общего числа установленных правонарушителей. Органы правопорядка задержали 3 нарушителя. Построить ряд и многоугольник распределения случайной величины – число рецидивистов среди задержанных, Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

7.4. В результате анализа счетов 400 инвесторов на фондовой бирже получена следующая информация о количестве сделок за последний месяц:

x, количество сделок	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Количество инвесторов	147	96	73	34	23	10	5	4	4	2	2

Определить вероятность того, что случайно выбранный инвестор произвел: а) ни одной сделки; б) по крайней мере две сделки; в) менее семи сделок.

7.5. Случайная величина – количество краж за месяц – распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 23 и среднеквадратическим отклонением = 4. Найти вероятность того, что в очередном месяце количество совершенных краж окажется не более 27, но не менее 19.

7.6. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднее квадратическое отклонение 140 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,5 г.

7.7. Текущая цена акции может быть приближена нормальным распределением с математическим ожиданием 16,1 руб. и средним квадратическим отклонением 0,2 руб. Рассчитать вероятности того, что цена акции окажется: а) не ниже 16,5 руб.; б) между 15,5 и 16,5 руб.

7.8. Три баскетболиста бросают мяч в корзину. Вероятность попадания первого , второго – , третьего – . Построить ряд и многоугольник распределения случайной величины – число попаданий. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.