«Предел и непрерывность функций одной и нескольких переменных»

Понятие множества. Подмножество. Принадлежность и включение. Способы описания множеств. Ограниченное множество, его верхние и нижние грани.

Функции действительной переменной. Функция как отображение множества. Способы задания, область определения и область значений. Классификация функций. Элементарные функции.

Предел последовательности. Последовательность как функция натурального аргумента. Критерий Коши существования предела. Операции над сходящимися последовательностями.

Предел функции одной переменной. Предел функции в точке. Свойства сходящихся функций. Критерий Коши. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы.

Бесконечно малые величины. Теоремы о бесконечно малых. Бесконечно большие величины, их свойства. Неопределенные выражения.

Непрерывность функции. Непрерывность в точке и на отрезке. Точки разрыва функции. Теоремы о функциях, непрерывных в точке и на отрезке.

Функции нескольких переменных. Область определения, предел, непрерывность функции нескольких переменных.

Кванторы существования, общности и единственности. Число "е" как предел монотонной последовательности. Сравнение бесконечно малых, эквивалентные бесконечно малые. Равномерная непрерывность функции. Повторные пределы.

«Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных»

Производная функции. Приращение функции и аргумента. Геометрический и механический смысл производной. Дифференцируемость функции. Производные высших порядков. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной, параметрически заданной и обратной функций. Применение производных для нахождения пределов неопределенных выражений. Правила Лопиталя.

Дифференциал функции. Определение и геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Свойства дифференцируемых функций. Условия монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. Локальный экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Схема нахождения экстремумов, наибольшего и наименьшего значений. Определение областей выпуклости и вогнутости кривой, точек перегиба. Правила нахождения асимптот графика функции. Общая схема построения графика.

Частные производные первого и высших порядков. Свойство смешанных производных. Правила дифференцирования. Производные от сложной функции и функции, заданной неявно.

Полный дифференциал функции. Определение и геометрический смысл полного дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Исследование функции нескольких переменных на экстремум.

Формула Лейбница. Дифференциалы в приближенных вычислениях. Теоремы о средних (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Формулы Тейлора и Маклорена, их приложения.

Полное и частные приращения функции нескольких переменных, их геометрическая интерпретация. Понятие безусловного и условного экстремумов, необходимые и достаточные условия их существования. Метод множителей Лагранжа.

Абсолютная и относительная погрешности, их связь и свойства. Правила оценки погрешности значений функции (аргументов) по известным погрешностям значений аргументов (функции). Приложения в теории приближений. Интерполяционные многочлены и формула Тейлора, их применение для приближенных вычислений. Метод наименьших квадратов в задачах оценки параметров. Численные методы решения нелинейных уравнений.