3. Расчёт корней характеристического уравнения.
Для САУ с отрицательной обратной связью передаточная функция имеет следующий вид:
Характеристическое уравнение передаточной функции:
Найдём корни характеристического уравнения:
Решая кубическое уравнение в среде MatCad получаем корни:
Анализируя корни характеристического уравнения можно сказать, что переходный процесс представляет собой затухающие колебания (система
устойчива) с
частотой
,
период колебаний
.
Коэффициент затухания
.
Декремент колебаний
.
4. Расчёт и построение частотных характеристик сау.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
Комплексно-частотная функция:
Выражение
для АЧХ:
Выражение для ФЧХ:
Расчёт АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Построим с помощью пакета Matlab логарифмические амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ), частотно-фазовую характеристику (ЛФЧХ) (Рис.3), и амплитудно-фазо-частотную характеристику (АФЧХ) (Рис.4) для разомкнутой системы. По их виду определяем запас устойчивости системы по фазе и по амплитуде. Из графиков видно, что запас устойчивости по амплитуде бесконечен, а по фазе имеет конечное значение (7˚):
Рис. 3.
Рис. 4.
5. Моделирование переходных характеристик в исходной сау.
Построим с помощью пакета Matlab переходные характеристики САУ.
Перерегулирование xmax=81,4 % время переходного процесса tp=0,101 c
Колебательность К=14
Перерегулирование xmax=84,1 % время переходного процесса tp=0,101 c
Колебательность К=14
Перерегулирование xmax=3700 % время переходного процесса tp=1,57 c
Колебательность К=33
Перерегулирование xmax=1790 % время переходного процесса tp=1,329 c
Колебательность К=23
6. Проверка сау на устойчивость.
Проверка на устойчивость замкнутой САУ производится с помощью алгебраического критерия Гурвица и частотного критерия Найквиста.
По Гурвицу: передаточная функция замкнутой системы в динамическом режиме имеет вид:
Передаточная функция по задающему воздействию:
Полином, описывающий данную систему, имеет вид:
;
;
;
Составляем определитель Гурвица:
Итак, при значении коэффициента усиления, равном 43,13182 система устойчива, т.к. определитель Гурвица для замкнутой системы больше нуля и положительны все коэффициенты характеристического полинома.
По Найквисту
Согласно критерию Найквиста, если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости соответствующей замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку (–1;j0) на комплексной плоскости.
Рис.4. Диаграмма Найквиста для условно разомкнутой САУ
Итак, получили, что по Найквисту система устойчива, т.к. точку (-1,j0) АФЧХ данной условно разомкнутой САУ не охватывает.