4. Контрольные вопросы

1. Найти расстояние между параболой y=x² и прямой x–y=5 методом множителей Лагранжа.

2. Найти расстояние от точки A(1,0) до эллипса 4x²+9y²=36 методом множителей Лагранжа.

5. Варианты заданий

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Фигура 1	С1	C1	C1	C1	C1	C1	C1	C3	C3	C3
Фигура 2	P1	P2	P3	P4	H1	H2	H3	H1	H2	H3

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Фигура 1	С2	C2	C2	C2	C2	C2	C2	C3	C3	C3
Фигура 2	P1	P2	P3	P4	H1	H2	H3	P1	P2	P4

В каждом варианте требуется найти расстояние между двумя заданными фигурами. Уравнения фигур приведены ниже:

С1: (x-5)^2+(y-10)^2=16	С2: (x-7)^2+y^2=9
С3: (x-7)^2+y^2=9	P1: y-x^2/8-2*x+3
P2: y-x^2+16	P3: y+x^2-x
P4: 2*y-x^2+3	H1: y^2-x^2-x*y+7*x
H2: 5*y^2-x^2+9	H3: y^2-x^2/10-2*x*y-x-y

Лабораторная работа № 4 решение задач линейного программирования

Цель работы: ознакомиться с численными и компьютерными методами решения задач линейного программирования в пакетах MATLAB и MAPLE.

1. Теоретические сведения

1. Формы записи задач линейного программирования

Отдельный класс оптимизационных задач образуют задачи линейного программирования, в которых и оптимизируемый критерий, и ограничения линейны. В них требуется найти экстремум целевой функции при наличии ограничений в виде неравенств

Эти условия можно записать в матричной форме

(1)

Здесь b и c – векторы-столбцы, А – матрица размера mn.

Существует другая форма записи, называемая канонической, когда ограничения имеют вид равенств, а на переменные накладывается требование положительности:

(2)

Формы записи (1) и (2) не являются независимыми. Существуют преобразования, при помощи которых любую задачу линейного программирования можно свести к одной из этих форм.

Чтобы перейти к канонической форме (2), необходимо условия типа неравенство заменить на равенства и перейти к положительным переменным. Первое делается путем введения дополнительных переменных, например, вместо неравенства можно записать равенство

где – новая переменная.

Любую переменную неопределённого знака можно заменить разностью двух положительных переменных:

Для обратного перехода, от формы (2) к форме (1), ограничения типа равенств нужно заменить неравенствами. Для этого можно воспользоваться формулой:

Например, вместо можно записать пару неравенств

Существует много методов решения задач линейного программирования, одним из наиболее наглядных является графический метод, а среди численных наиболее известен симплекс-метод. Остановимся на них подробнее.