§ С3.2. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно центра

Т

х

еорема: Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Рассмотрим систему сил ₁, ₂, ..., _n,

сходящихся в точке А. Возьмем произвольный центр

О и проведём ось ох перпендикулярно прямой ОА.

Направление ох выберем так, чтобы знак проекции

любой из этих сил на ось совпадал со знаком момента

момента относительно точки О.

Найдем соответствующие значения моментов:

(3.4)

Аналогично вычисляются моменты всех других сил. Формула (3.5) справедлива и тогда, когда сила проходит ниже прямой ОА (момент будет отрицательный).

Равнодействующая сил ₁, ₂, …., _{n :} .

По теореме о проекции вектора суммы сил на ось получим: .

Умножим на ОА: , или согласно (3.4): ,

ч.т.д.

§ С3.3. Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг своей оси.

Рассмотрим тело, которое может

вращаться вокруг некоторой оси z.

На тело действует сила ,

приложенная в точке А.

Проведем через точку А плоскость

ху, перпендикулярную оси z, и разложим

силу на две составляющие:

_z – параллельную оси z,

и _ху – лежащую в плоскости ху.

Сила _z – никакого вращательного эффекта на тело не оказывает, следовательно, весь вращательный эффект силы будет совпадать с вращательным эффектом ее составляющей _xy, т.е.

.

Вращательный эффект силы _ху измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Этой же величиной измеряется момент силы _ху относительно точки О, в которой ось z пересекается с плоскостью ху.

Следовательно,

,

или согласно предыдущему равенству

, (3.5)

т.е. моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент будем считать положительным – если с положительного направления оси z поворот, который сила _ху стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.

При вычислении моментов силы относительно оси надо иметь в виду следующие частные случаи:

1). Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю ( _ху = 0).

2). Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (h = 0).

Из первых двух частных случаев следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

3). Если сила перпендикулярна оси, то ее момент относительно оси равен произведению модуля сила на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью.