Лекция с3. Моменты силы относительно центра и оси § с3.1. Момент силы относительно центра
Чтобы перейти к рассмотрению задач статики для системы сил, как угодно расположенных в плоскости или пространстве, введем важное понятие о моменте силы относительно центра (точки).
Если под действием силы твердое тело может совершать вращение вокруг некоторого центра, то вращательный эффект этой силы относительно этого центра характеризуется ее моментом относительно этого центра.
Р
ассмотрим
силу
,
стремящуюся повернуть тело округ точки
О.
Перпендикуляр
h,
опущенный из точки О
на линию действия силы
,
называется плечом силы
относительно точки О.
Очевидно, что вращательный эффект силы зависит от:
- модуля силы и длины плеча h;
- положения плоскости ОАВ, проходящей
через центр О и силу ;
- направления поворота в этой плоскости.
Если силы и точка О лежат в одной плоскости, то необходимость каждый раз задавать положение этой плоскости отпадает. Поэтому для рассмотрения вращательного эффекта плоской системы сил используется понятие алгебраического (скалярного) момента силы относительно центра.
Алгебраическим моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча, т.е.
Момент будем считать положительным, если сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.
Если сила и точка О расположены в пространстве произвольно, то положение плоскостей, проходящих через точку О и соответствующую силу, необходимо каждый раз каким-то образом задавать.
Из геометрии известно, что положение плоскости в пространстве определяется направлением перпендикуляра к этой плоскости.
Т.о., момент силы относительно центра характеризуется не только его численным значением, но и направлением в пространстве, т.е. является величиной векторной. Поэтому, в общем случае, при рассмотрении пространственной системы сил используется понятие векторного момента силы относительно центра.
Векторным моментом силы относительно центра называется приложенный в этом центре вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на длину плеча и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр и силу, в ту сторону, откуда поворот, который сила стремится осуществить вокруг центра, виден происходящим против хода часовой стрелки.
Векторный
момент силы
можно
выразить с помощью векторного
произведения.
Рассмотрим векторное произведение
x
.
По определению:
Вектор
OA
x
F
направлен в ту же сторону,
что
и вектор mо(
).
т.е. векторы
x
и
(
)
совпадают и по модулю и по направлению.
Следовательно,
или
(3.2)
т.е.
момент
силы
относительно центра О
равен векторному произведению
радиуса-вектора
,
соединяющего центр О
с точкой приложения силы, на саму силу.
Отметим следующие свойства момента силы относительно центра (алгебраического и векторного):
1). Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.
2). Момент силы равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через точку О (плечо = 0).
3). Момент силы численно выражается удвоенной площадью ∆ОАВ, т.е.
(3.3)