Масштабирование переменных (данных)

Основная цель масштабирования добиться того, что бы в представляющей интерес области переменные имели одинаковые порядки модулей. Для масштабирования применяют линейные преобразования переменных, при этом переходят от переменных отражающих суть явления к переменным удобным для решения определенного класса задач. Используемая замена имеет следующий вид: X = D*Y здесь {X_i} – исходная переменная; {Y_i} – преобразованная переменная; D – диагональная матрица, элементами которой служат характерные значения модулей соответствующих переменных.

Масштабирование диагональным преобразованием может приводить к потере точности. Ненадежно оно также в том случае, если при решении задач (например поиска экстремумов), модули переменных существенно меняются. В этом случае элементы матрицы d_j пригодные для одной точки не годятся для другой. Пусть известен диапазон значений переменных a_j  x_j  b_j , тогда новую переменную y_j можно ввести по формуле:

Это соответствует линейному преобразованию: DY + c = X

Где D - диагональная матрица, у которой элементы:

Если имеются лишь грубые оценки для a_j и b_j, тем более отличающиеся на несколько порядков, то этот метод масштабирования применять нельзя. Кроме того, сама процедура масштабирования сильно влияет на вычисление вторых производных, снижая скорость сходимости оптимизирующих процедур.

Интерполяция и аппроксимация данных

Интерполяция – это нахождение промежуточных значений для зависимости представленной в отдельных точках. Интерполяционная формула сопоставляет с функцией y(x) заданной в точках x_k , k = 0,… m функцию известного класса, зависящую от параметров: Y (x, a₀, a₁,…, a_n). Эти параметры выбираются таким образом, чтобы обе функции совпадали в узлах интерполяции: Y(x_k) = y(x_k) = y_k. Самый простой в использовании полином, имеющий степень 1 создаёт многоугольный путь из отрезков прямых которые проходят через эти точки. Интерполяционная функция имеет вид:

, x_k  x  x_k+1

При использовании полиномов более высокой степени число узловых точек определяет степень полинома. Если число узловых точек например k, то на них можно построить полином k-1. Степень полинома n равна n = k-1.

Сформируем матрицу: X_j,i = (x_j)ⁱ , при этом X_j,0 = 1

Если i=0,1,…,n и j=0,1,…,n то это матрица вида nn и коэффициенты полинома формально представляются в виде вектора: a = X ^–1y. Формула для самого полинома будет иметь вид: P(x) =  a_mx^m , m = n, …, 0. Погрешность полиномиальной аппроксимации резко возрастает с ростом степени полинома, так что степень используемых полиномов обычно не превосходит 5.

Наиболее известна интерполяция полиномом Лагранжа:

Ещё одним методом является объединение фрагментов графиков, полиномов низкой степени и интерполирование между последовательными узлами.

Две части графика соединены в узле (x_k+1, y_k+1) и совокупность функций S_k(x) формирует кусочно-полиномиальную кривую, которая и определяет S(x). Математически можно построить такие кубические функции S_k(x), на каждом интервале (x_k, x_k+1), чтобы полученная в результате кривая y(x) = S(x) не имела бы острых углов, а её первая и вторые производные были бы непрерывны на всём интервале от [x₀,x_N].

Непрерывность первой производной S'(x) означает что S(x) не имеет острых углов. Непрерывность второй производной S'' (x) означает что радиус кривизны определён в каждой точке. Предположим что {(x_k, y_k)}^N_k=0 − это N+1 точка, где a  x₀  x₁ <x₂< … < x_N = b. Функция S(x) называется кубическим сплайном, если существует N кубических полиномов следующего вида:

S(x) = S_k(x) = S_k,0 + S_k,1(x – x₁) + S_k,2(x – x₂)² + S_k,3(x – x₃)³

x[x_k, x_k+1 …], k = 0, …, N-1,

таких, что выполняются следующие 4 условия:

1. S(x_k) = y_k , k = 0, … N

2. S_k(x_k+1) = S_k+1(x_k+1), для всех k = 0, …N-2 − непрерывность

3. S'_k (x_k+1) = S'_k+1(x_k+1), k = 0, …N-2 − гладкость

4. S''_k(x_k+1) = S''_k+1(x_k+1)

Каждый полином имеет 4 коэффициента, так что всего их 4N. Заданные точки (узлы) интерполяции обеспечивают N+1 условие и каждое из свойств 2, 3 и 4 добавляют ещё N-1 условие, поэтому всего получается N+1+3(N-1)=4N-2 уравнений, которые можно использовать для нахождения коэффициентов сплайна. Нахватает двух уравнений или образуется две степени свободы, это ограничения в крайних точках. Поэтому кубический сплайн требует дополнительной стратегии для двух крайних точек. В связи с этим можно построить следующие типы сплайнов:

1. смыкающийся сплайн: S'(a) = d₀

S' (b) = d_N

2. естественный сплайн. Для него определяются нулевые вторые производные: S''(a) = S''(b) = 0 (сплайн со свободными концами)

3. экстраполяционный сплайн, для него вторая производная на левом конце ищется по узлам x₁ , x₂. Производная на правом ищется по x_N-1, x_N

4. Сплайн, заканчивающийся параболой, т.е. кубическая кривая на концах вырождается в параболу.

В MathCad имеется возможность линейной и кубической интерполяции сплайными.

Linear Interpolation f(x):=linterp(X,Y,x);

Cubic Spline Interpolation

S:=cspline(X,Y) − вектор коэффициентов

f(x):=interp(S,X,Y,x)