Измерительные шкалы Шкалы наименований (номинальные или классификационные)

Пусть число различимых состояний конечно. Каждому состоянию (классу эквивалентности) ставится в соответствии обозначение в виде символа. Множество этих символов образует шкалу. Измерение состоит в определении принадлежности результата к данному классу эквивалентности. Обработка результатов состоит в вычислении относительных частот классов. Над этими частотами можно выполнять различные статистические процедуры. В номинальных шкалах измеряются в основном дискретные, по своей природе, явления. Если наблюдаемые состояния образуют непрерывные множества, то его искусственно разбивают на подмножества, образуя классы эквивалентности.

Формально процедуру измерения с помощью номинальных шкал можно представить с помощью символа Кронекера:

_ij = {1: x_i = x_j ; 0: x_i  x_j }

, частота

n –общее число наблюдений;

n_k – количество наблюдений соответствующее каждому классу эквивалентности.

P_k – частота к-го класса

Например: названия болезней образует номинальную шкалу.

Порядковые (ранговые) шкалы

Если класс эквивалентности удовлетворяет соответствующей упорядоченности, то, обозначив их символами и установив между этими символами теже отношения порядка, получим шкалу простого порядка. Отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами, однако, позволяет установить какое из наблюдений предпочтительнее, сравнивая их ранги. Определим индикатор положительных чисел следующим образом:

C(t) = {1: t0 ; 0: t0}

Тогда, ранг наблюдения - это целое положительное число R_i , которое образуется путем суммирования индикаторов при попарном сравнении:

, 1 R_i  n,

где n – число сравниваемых объектов.

С помощью рангов также можно находить частоты, моды, появляется возможность определить выборочную медиану, т.е. такие наблюдения для которых R_i = n/2. можно разбить всю выборку на части в любой пропорции и вычислить квантили: 0  P  1 – это наблюдения ранг которых R_p  nP, кроме того можно определить коэффициенты ранговой корреляции между двумя сериями наблюдений. Для этих шкал также не существуют стандартов. (Например, измерение интеллекта людей – через рассмотрение тестовой задачи).

Модифицированные порядковые (ранговые) шкалы

В некоторых случаях удается не только упорядочить альтернативы, но и указать хотя бы грубо силу предпочтения. Эта существенная модификация значительно усиливает шкалу. Например: шкала твердости по Моосу:

Тальк – эталон наименьшей твёрдости – 1, алмаз – эталон наибольшей твёрдости – 10, остальные материалы между ними.

Шкала ветра по Ботфорту:

Штиль 0

Умеренный ветер 4

Свежий ветер 6

Шторм 10

Ураган 12

Шкалы интервалов

Если упорядочивание классов позволяет выражать расстояние между ними в единицах хотя и произвольных, но одинаковых по длине шкалы, то построенные таким образом шкалы называются – интервальными. Для таких шкал отношение двух любых интервалов не зависит от того, какова единица длины интервала и какое значение принято за начало отсчета. Связь между показаниями в таких шкалах является линейной. Шкала интервалов является единственной с точностью до линейных преобразований:

В этой шкале только интервалы имеют смысл настоящих чисел, и единственной допустимой операцией над наблюдениями является определение интервала между ними. Например: шкала по Фаренгейту и по Цельсию: F⁰ = 1.81C⁰ + 31.

Шкалы отношений

В этих шкалах отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из них произведены измерения. Величины, измеряемые в шкале отношений имеют естественный абсолютный 0, т.е. если в одной из шкал измерены x₁, x₂, а другой y₁, y₂ и взяты их отношения, то . Между шкалами получим линейную связь: y = ax.

Шкалы разностей (циклические или периодические шкалы)

Особенность этих шкал состоит в том, что они инвариантны к сдвигу, значение не изменяется при любом числе сдвигов.

y = x + nb, n = 0, 1, 2 …

b – период шкалы.

Циклические шкалы - частный случай интервальных шкал, однако, соглашение об едином начале отсчета позволяет использовать показания в этой шкале как числа.

Абсолютные шкалы

Уникальные шкалы, которые имеют абсолютный нуль и абсолютную безразмерную единицу. Именно такими качествами обладает числовая ось. Результаты измерений в такой шкале являются полноценными числами, над которыми допустима любая обработка, в том числе использование их в качестве показателя степени основания и аргумента логарифма.

Физические шкалы и неоднозначность образов действительности

Создавая образы действительности с помощью измерений мы получаем неоднозначные отображения из-за ограниченной точности приборов и из-за свойств органов чувств людей. Состояние а измеряемой некоторой характеристики х отображается во множество значений области абстракций В: a  B_a = {b}

Элементы множества В, которые сопоставляются значению а неравнозначны. Пусть вероятность отображения а в В (b = f(a)) больше или меньше вероятности отображения b +  = f(a),  > 0. тогда выбор элементов из множества В отвечающего состоянию а определяется мерой P[0,1] такой что Или при непрерывной:

В соответствии с этой вероятностной мерой отображение принимает вид:

a  {b, P_a(b)}, при этом мощность множества Р и мощность множества В равны. Графически это означает:

Для построения измерительной шкалы из множества В_а нужно выбрать только один элемент b^*, относительно которого мы можем утверждать, что оно лучше всех остальных отображает состояние а. Выбор производится в соответствии с правилом выбора (решением): b^* = D(P_a).

Чаще всего используют три правила выбора чисел отображающих характеристики а:

1. b₁^* = D₁(P_a), P_a(b₁^*) = max P_a

bB_a

b₁^* - наиболее вероятное значение (мода распределения)

2. b₂^* = D₂(P_a), или где b₂^* - среднее значение

3. b₃^* = D₃(P_a), P_a(b₃^*) = ½

b₃^* - медиана.

Если утверждается, что B_a является окрестностью точки b*, то возможно поэлементное отображение (B_a)=A_a*={a*}, т.е. образом состояния a является B_a, которое образует в области состояний множество A_a*. a  B_a A_a* эквивалентность aa* существует только в пределах выраженных этим соотношением. Неопределенность образа можно охарактеризовать удалением (отклонением) элементов множества (B_a) от точки b*, если считать что множество B образов является подмножеством R (рациональных чисел), на котором определена метрика (b*,b)0, то формально отклонение можно выразить с помощью этой метрики. Поскольку отображение строится с использованием вероятностной меры, то опираясь на рассмотренные метрики используют следующий вид частных мер:

, − средневзвешенное значение

 = , − стандартное отклонение.

Если b непрерывный параметр, то все суммы заменяются интегралами.