1.20. Обчислення статистичного інтегралу для ідеального газу.

Ідеальний газ є системою точкових частинок, що не взаємодіють між собою. Отже, функція Гамільтона ідеального газу має вигляд

, (1.20.1)

звідки для статистичного інтегралу знаходимо

(1.20.2)

Припустимо, що система просторово обмежена і має об’єм ; тоді

(1.20.3)

і

. (1.20.4)

Отже, обчислення статистичного інтегралу для ідеального газу зводиться до обрахунку імпульсного інтегралу

. (1.20.5)

Очевидною є рівність

. (1.20.6)

Кінетична частина функції Гамільтона ізотропна; отже, всі інтеграли в (1.20.6) є однаковими, тобто

(1.20.7)

Підінтегральна функція в (1.20.7) дуже швидко спадає з зростанням р, тому, майже не втрачаючи точності, можна записати наступне

(1.20.8)

Отже, для статистичного інтегралу ідеального газу отримуємо кінцевий вираз

(1.20.9)

1.21. Обчислення термодинамічних потенціалів методами статистичної фізики.

Вище ми відзначали, що в межах термодинаміки (без залучення експериментальних даних для конкретної речовини) безпосереднє обчислення термодинамічних потенціалів є неможливим. Така можливість виникає при застосуванні апарату статистичної фізики. Нижче ми зупинимося на статистичному розрахунку внутрішньої енергії і вільної енергії Гіббса і перевіримо отримані результати на простій системі – ідеальному газі.

Згідно з загальним рівнянням (1.16.4), після врахування квазіконтинуальності фазового простору, знаходимо наступне

. (1.21.1)

Очевидним є співвідношення

. (1.21.2)

Операції інтегрування по фазовому простору і диференціювання по температурі комутують, тому

. (1.21.2)

Згідно з визначенням (1.19.4), величина в фігурних дужках в (1.21.2) є просто ; отже

. (1.21.3)

Вільна енергія Гельмгольца зв’язана з внутрішньою енергією співвідношенням (див. Рівняння (1.7.1) і (1.7.3))

(1.21.4)

Рівність (1.21.4) виконується, якщо

. (1.21.5)

Обчислимо внутрішню енергію і вільну енергію для ідеального газу. Використовуючи вираз (1.20.9), знаходимо

. (1.21.6)

Перейдемо до обчислення вільної енергії ідеального газу. Згідно з (1.20.9) і (1.21.5), отримуємо

. (1.21.7)

Розглянемо докладніше перший доданок в дужках в правій частині (1.21.7).

(1.21.8)

Згідно з наближенням Стірлінга, . Використовуючи це співвідношення, після підстановка (1.21.8) в (1.21.7) отримуємо

. (1.21.9)

Тепер ми можемо обчислити ентропію, використовуючи доведене вище співвідношення . Для ентропії ідеального газу знаходимо

. (1.21.10)

Використовуючи рівняння (1.21.9), легко пересвідчитись, що обчислення тиску призводить до відомого рівняння стану .

1.22. Розподіл Максвелла.

Макроскопічні системи складаються з колосальної кількості частинок, кожна з яких в заданий момент часу характеризується певним значенням механічного імпульсу. Виникає природне запитання про наявність статистичних закономірностей в розподілі частинок по імпульсам. Виявляється, що такі закономірності дійсно існують.

Функція розподілу частинок по імпульсам (точніше, по швидкостям) була отримана Максвеллом на підставі дуже загальних міркувань. Пізніше результати Максвелла знайшли повне експериментальне підтвердження в дослідах Штерна та інших.

Ми отримаємо функцію розподілу молекул по імпульсах, виходячи з канонічного розподілу Гіббса.

У відсутності макроскопічних потоків речовини в межах системи має місце умова

(1.22.1)

Це означає, що функція розподілу молекул по імпульсам має бути ізотропною, тобто залежати тільки від модулю імпульсу. Позначимо цю функцію як .

Фізично функція є густиною імовірності того, що будь-яка з молекул системи (наприклад, молекула №1) має модуль імпульсу р. Отже, для отримання необхідно проінтегрувати функцію розподілу Гіббса по всіх координатах і всіх компонентах імпульсів, крім тих, що відносяться до першої частинки , а також по кутових змінних, які визначають напрямок імпульсу першої частинки. Зауважимо, що при обчисленні інтегралів в фазовому просторі ми не будемо враховувати його “квазиконтинуальність” – зараз в цьому просто немає потреби.

(1.22.2)

Введемо позначення

(1.22.3)

Величина А не залежить від стану частинки №1 і може розглядатись як нормуюча константа. Отже, з (1.22.2) маємо

, (1.22.4)

Нормуюча константа обчислюється за стандартною схемою

, (1.22.5)

після чого функцію розподілу Максвелла можна записати у вигляді

(1.22.6)