1.18. Статистичне визначення ентропії. Статистична вага макростану.
Другому з рівнянь (1.17.8) тепер можна надати наступного вигляду
. (1.18.1)
Це рівняння за конструкцією дуже схоже на термодинамічне визначення температури
,
(1.18.2)
в
якому
.
Порівнюючи рівняння (1.18.1) і (1.18.2), природно
покласти
. (1.18.3)
Суттєвим
недоліком рівняння (1.18.3) є те, що під
знаком логарифма стоїть розмірна
величина.
Причина недосконалості співвідношення
(1.18.3) лежить в суто класичному уявленні
про неперервність (континуальність)
фазового простору. Насправді ж фазовий
простір не є неперервним і утворює так
званий квазіконтиніум. Причиною
квазіконтинуальності фазового простору
є принципова
неможливість
точного
визначення
канонічно
спряжених координат
системи в фазовому просторі. Це твердження
має назву
принципу невизначеності Гейзенберга
і доводиться в курсі квантової механіки.
Кількісною формою принципу невизначеності
є співвідношення
невизначеності. Подамо
його спрощений вигляд.
Позначимо
через
невизначеності канонічно спряжених
координат фазової точки. Згідно з
співвідношенням невизначеності
, (1.18.4)
де
- постійна Планка.
Елементарний
об’єм
фазового простору визначається виразом
(1.18.5)
Згідно
з (1.18.4), елементарний об’єм
складається з комірок
,
в межах кожної з яких може знаходитись
один і тільки
один мікростан.
Далі, всі мікростани, отримані один з
одного перестановкою
тотожних частинок, є
фізично еквівалентними.
Кількість
таких перестановок в системі з
частинок дорівнює
.
Отже, в елементарному об’ємі
міститься
(1.18.6)
фізично
різних мікростанів. Відповідно, в
фазовому об’ємі
міститься
(1.18.7)
фізично різних мікростанів, тобто мікростани утворюють зчисленну множину.
Статистичне визначення ентропії (1.18.3) приймає вид
, (1.18.8)
де
- статистична вага макростану.
Статистична вага макростану залежить тільки від його характеристик; тому ентропія системи є дійсно функцією стану системи.
1.19. Статистичний інтеграл.
Повернемось до загального виразу, що описує канонічний розподіл Гіббса
(1.19.1)
Функція
розподілу
буде визначена повністю, якщо ми знайдемо
нормуючий множник
.
Для замкненої системи в усіх точках
області
фазового простору, який зайнятий
ансамблем, енергія
є константою
,
і нормуючій множник
обчислюється за рівнянням
(1.19.2)
Отже, обчислення нормуючого множника зводиться до визначення величини замкненої системи.
В канонічному розподілі Гіббса система не є замкненою: її енергія може змінюватись за рахунок обміну з оточенням (“термостатом”). Зрозуміло, що в цьому випадку вже не буде постійною в , і замість виразу (1.19.2) ми маємо записати наступне
(1.19.3)
звідки,
позначаючи
,
знаходимо
(1.19.4)
Величина
в (1.19.4) має назву статистичного
інтегралу.
Покажемо, що статистичний інтеграл може
бути поданий у вигляді добутку
конфігураційної і фазової частин.
Пригадаємо, що
(1.19.5)
і
(1.19.6)
Підстановка (1.19.6) і (1.19.5) в (1.19.4) дає наступне
, (1.19.7)
де
і
- області імпульсного і координатного
просторів, “зайнятих” ансамблем.
Величини
і
мають назви імпульсного і конфігураційного
статистичних інтегралів і визначаються
формулами
(1.19.8)
Для класичних систем імпульсний інтеграл має універсальний вигляд і обчислюється досить просто. Що стосується конфігураційного інтегралу, то його обчислення є вкрай складною задачею, яка розв’язується точно для дуже обмеженого класу систем: Найпростішою з них є ідеальний газ.