2.28. Магнітне поле нескінченого лінійного струму.
Скористаємося
законом Біо-Савара-Лапласа і принципом
суперпозиції для обчислення індукції
магнітного поля нескінченого лінійного
провідника зі струмом
(рис. 22). Нас цікавить індукція магнітного
поля
на відстані
від провідника.
Виділимо
на провіднику елементарну ділянку
(елемент)
;
його розташування характеризується
кутом
,
а довжина – кутом
.
З суто геометричних міркувань маємо:
; (2.28.1)
; (2.28.2)
. (2.28.3)
Обчислення
дає наступне
. (2.28.4)
Всі
елементарні вектори
,
що створюються різними елементами
,
колінеарні. Тому
. (2.28.5)
2.29. Теорема про циркуляцію вектора індукції магнітного поля. Стаціонарні поля і струми.
В розділі 28 ми обчислили модуль індукції магнітного поля , що створюється нескінченним за довжиною лінійнім струмом (рівняння (2.28.5)). Надамо цьому рівнянню векторного вигляду (позначання ілюструються рис. 23).
. (2.29.1)
Охопимо
струм плоским замкненим контуром
,
який “стягує” поверхню
.
Площина, в який лежить контур
(на малюнку вона співпадає з
хоча це не обов’язково) є перпендикулярною
до лінійного струму (тобто до вектора
).
Обчислимо
циркуляцію
вектора магнітної індукції
по замкнутому контуру
.
Обчислення інтегралу
ілюструється рис. 24, на якому зображено
вигляд системи “з гори”. З урахуванням
рівності (2.29.1), знаходимо для циркуляції
. (2.29.2)
Визначимо напрямок вектора індукції магнітного поля . Виходячи з того, що вектор перпендикулярний до площини контуру, а вектор лежить в площині контуру (за побудовою) знаходимо, що вектор лежить в площині контуру і є перпендикулярним до вектора . Отже, підінтегральний вираз в рівнянні (2.29.2) можна подати у вигляді
, (2.29.3)
де
- компонента вектора
,
перпендикулярна до вектора
.
За визначенням,
. (2.29.4)
Рівняння (2.29.2) набуває простої форми
, (2.29.5)
звідки
після інтегрування по азимутальному
куту
знаходимо
. (2.29.6)
Для струмів, які не проходять через поверхню , стягнуту контуром , має місце
. (2.29.7)
Довести справедливість рівняння (2.29.7) неважко. Схожа ситуація зустрічалася нам раніше, а саме, при розгляді теореми Гауса для електростатичного поля.
Припустимо,
що поверхню
,
стягнуту контуром
,
перетинає
лінійних нескінченних струмів
.
Кожен з цих струмів створює парціальне
магнітне поле
з індукцією
.
Для циркуляції векторів
запишемо
. (2.29.8)
Згідно з принципом суперпозиції, сформуємо результуюче магнітне поле
, (2.29.9)
де
- магнітна індукція поля, що створене
струмами, які не перетинають поверхню
.
Обчислимо циркуляцію результуючого поля по замкненому контуру .
. (2.29.10)
Другий інтеграл в правій частині (2.29.10) дорівнює нулю. Отже, для циркуляції вектора магнітної індукції результуючого поля маємо
, (2.29.11)
звідки, після врахування співвідношення (2.29.8), приходимо до кінцевого результату
. (2.29.12)
Теорема про циркуляцію вектора магнітної індукції (2.29.12) була доведена нами для дещо спрощеної геометрично системи – плоского контуру інтегрування, площина якого ортогональна лінійному нескінченному струму. Виявляється, однак, що кінцевий вираз більш є набагато універсальним: рівняння (2.21.12) може бути застосоване для довільних (не обов’язково плоских) замкнених контурів інтегрування і струмів довільної геометрії.
“Теорема про циркуляцію” вектора є типово інтегральним співвідношенням.
Спробуємо
знайти її диференціальний аналог.
Припустимо, що сумарний електричний
струм через поверхню
розподілений неперервно з густиною
.
Тоді, очевидно,
, (2.29.13)
і для “теореми про циркуляцію” знаходимо
. (2.29.14)
В правій частині (2.29.14), згідно з теоремою Стокса, перейдемо до інтегрування по поверхні
. (2.29.15)
Рівність інтегралів (2.29.15) має місце для довільних штучно побудованих поверхонь . Це означає, що з рівності інтегралів випливає рівність
. (2.29.16)
Співвідношення (2.29.16) і є диференціальним аналогом “теореми про циркуляцію” (2.29.12).
З рівнянь (2.29.12) і (2.29.16) можна зробити важливий висновок: магнітне поле не є потенціальним.
На завершення підкреслимо, що рівняння (2.29.12) і (2.29.16) є точними тільки для випадку стаціонарних полів і постійних струмів. Нижче ми покажемо, що для нестаціонарних полів і струмів застосування виразів типу (2.29.12) і (2.29.16) потребує суттєвої їх корекції.