2.19. Потенціальна енергія системи зарядів.
Електростатичне
поле є потенціальним. За визначенням,
потенціальна енергія
заряду
,
розташованого в точці
дорівнює
.
(2.19.1)
Розглянемо
систему точкових зарядів
,
розташування яких в об’ємі системи
характеризується векторами
(рис. 17).
Електростатичний потенціал , створений системою зарядів , згідно з принципом суперпозиції може бути поданий у вигляді
. (2.19.2)
Вираз (2.19.2) має вкрай неприємну особливість: потенціал стає нескінченним в усіх точках . Ці нескінченності є прямим наслідком використання ідеалізованих об’єктів - точкових зарядів.
Спробуємо
обчислити енергію
заряду
в електростатичному полі, створеному
розглядуваною системою. Безпосередня
підстановка (2.19.2) в (2.19.1) дає наступне
. (2.19.3)
Другий доданок в правій частині виразу (2.19.3) формально описує енергію взаємодії точкового заряду з самим собою – так звану енергію самодії - і не має фізичного змісту. Від мусить бути просто відкинутий, як нефізичний, після чого вираз (2.19.3) набуває виду
. (2.19.4)
Позначимо
через
потенціал, який створюється в системі
всіма точковими зарядами за виключенням
j-го точкового заряду
. (2.19.5)
Тепер для енергії j-го точкового заряду в електростатичному полі решти зарядів системи отримуємо
. (2.19.6)
Для визначення потенціальної енергії системи зарядів необхідно обчислити суму по всіх зарядах в системі і результат поділити на 2
. (2.19.7)
Поява
множника
в (2.19.7) зумовлена тим фактом, що в сумах
в (2.19.7) енергія кожної із парних взаємодій
між i-м та j-м зарядами враховується
двічі.
Перейдемо до розгляду систем с неперервним розподілом заряду . В таких системах потенціал є обмеженим; не виникають також нефізичні доданки типу енергії самодії. Переходячи в рівнянні (2.19.2) від обчислення суми до інтегрування, отримуємо для потенціалу
(2.19.8)
і для енергії системи
. (2.19.9)
2.20. Потенціал зарядженого провідника. Електрична ємність. Енергія зарядженого провідника.
Розглянемо
провідник об’ємом
,
обмежений поверхнею
.
Зарядимо провідник зарядом
.
Вище ми довели, що цей заряд розподілиться
по поверхні провідника з поверхневою
густиною
.
В стані рівноваги вид розподілу
забезпечує:
рівність нулю вектора напруженості електростатичного в об’ємі провідника;
рівність нулю тангенціальної складової вектора напруженості електростатичного поля на поверхні провідника.
В термінах потенціалу приведені вище властивості електростатичного поля в провіднику можна записати у вигляді рівностей
(2.20.1)
Рівності
(20.1) означають, що в статичному випадку
потенціал є однаковим в усіх точках
провідника; отже, провідник є
еквіпотенціальним. Позначимо потенціал
провідника через
.
Зрозуміло, що потенціал
залежить від розмірів провідника, його
форми і від заряду
,
який внесено в провідник.
Оскільки провідник є еквіпотенціальним, для визначення достатньо обчислити потенціал в довільній точці всередині або на поверхні провідника
. (2.20..2)
Перепишемо рівняння (2.20..2) у вигляді
, (2.20..3)
де
. (2.20..4)
Відносна (приведена) поверхнева густина
заряду
повинна бути такою, щоб для провідника
заданих розміру і форми забезпечувати
справедливість співвідношень (2.20..1).
Власне,
однозначно визначається розміром і формою провідника. Від заряду провідника не залежить. Це означає, що права частина рівняння (2.20..3) також не залежить від заряду провідника і є величиною, яка повністю визначається його формою і об’ємом, тобто
. (2.20..5)
Введемо в розгляд електричну ємність провідника С
, (2.20..6)
після чого вираз для потенціалу зарядженого провідника набуває простого вигляду
(2.20..7)