2.7. Рівняння Пуассона.

Теорема Гауса в диференціальній формі (2.5.13) і рівняння, яке визначає зв’язок напруженості електростатичного поля з його потенціалом (2.6.10) дає можливість знайти диференціальне рівняння, що пов’язує потенціал електростатичного поля з просторовим розподілом заряду в системі. Для зручності, приведемо повторно рівняння (2.5.13) і (2.6.10)

(2.7.1)

Підстановка виразу (2.7.1 b) в рівняння (2.7.1 а) дає наступне

(2.7.2)

Вслід за Хевісайдом, перетворимо ліву частину рівняння (2.7.2), надавши їй типово “операторного” вигляду

(2.7.3)

де

(2.7.4)

має назву оператору Лапласа.

З урахуванням співвідношення (2.7.3) і визначення (2.7.4), рівняння (2.7.2) набуває кінцевого вигляду

. (2.7.5)

Рівняння (2.7.5) має назву рівняння Пуассона і є одним з центральним рівнянь електростатики. Саме рівняння Пуассона дозволяє розв’язати основну пряму задачу електростатики, яка полягає в описі електростатичного поля (в термінах напруженості або потенціалу) системи з відомим просторовим розподілом заряду .

2.8. Електричний диполь. Електростатичне поле диполя.

Е лектричний диполь – це електронейтральна система двох зв’язаних точкових зарядів . Взаємне розташування цих зарядів в просторі характеризується вектором , проведеним від від’ємного заряду до додатного (рис. 9).

Основною фізичною характеристикою електричного диполя є його дипольний момент

(2.8.1)

Якщо модуль вектора є постійним і не залежить від зовнішніх умов (наприклад, від напруженості електричного поля, в яке вміщений диполь), такий диполь має назву жорсткого диполя. В протилежному випадку диполь називають нежорстким; серед нежорстких диполів особливе місце займають так звані пружні диполі.

Розрахувати напруженість електростатичного поля диполя неважко. Дійсно, заряди, що утворюють диполь, є точковими; отже, обчислення парціальних напруженостей полів, які вони створюють, є елементарним. Далі необхідно застосувати принцип суперпозиції, що і призводить до визначення напруженості електростатичного поля диполя в довільній точці простору.

Спеціальний інтерес представляє поведінка електростатичного поля диполя на великих (в порівняння з відстанях між диполем і точкою спостереження. Нижче ми отримаємо відповідні асимптотичні вирази, які описують напруженість поля і потенціал диполя на великих відстанях.

П очнемо з опису асимптотичної поведінки потенціалу диполя на великих відстанях. Для зручності розташуємо систему координат так, щоб її початок співпадав з серединою вектора (рис. 10).

Введемо позначення:

• - вектор, проведений з центру диполя в точку спостереження;

• - вектор, проведений з заряду в точку спостереження;

• - вектор, проведений з заряду в точку спостереження;

• - парціальний потенціал, що створюється зарядом в точку спостереження;

• - парціальний потенціал, що створюється зарядом - в точку спостереження.

Ми досліджуємо поведінку потенціалу диполя на великих відстанях, отже, в наших позначеннях

(2.8.2)

Обчислимо парціальні потенціали і

(2.8.3)

Вектори , і зв’язані співвідношеннями

(2.8.4)

Обчислимо модулі векторів і . З виразів (2.3.8) маємо

(2.8.5)

Використаємо умову “великих відстаней” (2.8.2), яка дозволяє перейти від точних виразів (2.8.5) до відповідних наближених виразів і, з рештою, знайти достатньо прості і зручні формули, які описують електростатичне поле диполя на великих відстанях.

Звернімо увагу на наступну суттєву обставину. Якщо умова (2.8.2) виконується, для доданків, які знаходяться під знаком “ ” в рівняннях (2.8.5), виникає наступна ієрархія величин

. (2.8.6)

Це дозволяє записати замість точних співвідношень (2.8.5) відповідні наближені вирази

(2.8.7)

Сумісне використання рівнянь (2.8.3), (2.8.7) і принципу суперпозиції для потенціалу дозволяє записати для потенціалу диполя на великих відстанях наступний наближений вираз

(2.8.8)

Враховуючи, що , функції в рівнянні (2.8.8) можна розкласти в ряд Тейлора в околі точки , зберігаючи доданки нульового і першого порядків. Після відповідних перетворень, отримуємо

(2.8.9)

Вираз (2.8.9) описує потенціал електростатичного поля диполя на великих відстанях.

Перейдемо до обчислення напруженості електростатичного поля диполя на великих відстанях. Для цього ми використаємо загальний зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатичного поля (2.6.10)

. (2.8.10)

В виразі (2.8.10) . Після обчислення градієнтів в рівнянні (2.8.10) отримуємо для напруженості електростатичного поля диполя

(2.8.11)

Електростатичне поле диполя є аксіально симетричним; вісь симетрії за напрямком співпадає з вектором . Вектори лежать в одній площині. Пересвідчитись в справедливості останнього твердження пропонується самостійно.