44
4.3. Оценка устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам
Известно, что логарифмические амплитудная L(ω) и фазовая Θ(ω)
частотные характеристики однозначно связаны с АФХ W(jω).
L(ω) = 20 lg W(jω) = 20 lgA(ω); Θ(ω) = argW(jω) .
Это значит, что формулировки критерия Найквиста применительно к ЛЧХ можно получить из сопоставления АФХ и соответствующей ей ЛЧХ.
Логарифмический частотный критерий:
если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет ν нулевых корней (ν=0, 1, 2,...), а все остальные корни «левые», то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот, где ЛАХ положительна, ЛФХ по абсолютному значению была меньше - 180°, или, иначе, чтобы при достижении ЛФХ -180° ЛАХ была отрицательна.
Дополнительные интерпретации критерия:
если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет ν нулевых корней (ν=0, 1, 2,...), а все остальные корни «левые», то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот, где ЛАХ положительна, разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФХ через прямую -180° снизу вверх равнялась числу переходов сверху вниз;
если замкнутая система неустойчива, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы в области частот, где ЛАХ положительна, разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФХ через прямую -180° была равна l/2, т.е. чтобы в области частот,
где ЛАХ положительна, число переходов ЛФХ через прямую -180° снизу вверх
45
превышало на l/2 число переходов снизу вверх, где l - число «правых» корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Определение устойчивости АС по логарифмическому частотному критерию иллюстрируется следующим примером (рис. 18).
Рис.18. Примеры АС, устойчивых по логарифмическому критерию
Задачи для самостоятельного решения
Оценить устойчивость замкнутой АС по известным ЛЧХ разомкнутой системы (рис. 19).
Рис. 19. Исходные данные