2.9. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. Пучок прямых

Если , то координаты точки пересечения прямых и находятся путем совместного решения уравнений этих прямых.

Расстояние от точки до прямой находится по формуле

. (10)

Биссектрисы углов между прямыми и имеют уравнения

. (11)

Если пересекающиеся прямые заданы уравнениями и , то уравнение

, (12)

где  - числовой множитель, определяет прямую линию, проходящую через точку пересечения заданных прямых. Давая в последнем уравнении  различные значения, будем получать различные прямые, принадлежащие пучку прямых, центр которого есть точка пересечения заданных прямых.

Пример 1. Показать, что прямые и пересекаются, и найти координаты точки пересечения.

Решение.

Так как , то прямые пересекаются. Решив систему уравнений

находим х = 1, у = 2, т.е. прямые пересекаются в точке (1;2).

Пример 2. Определить расстояние от точки до прямой , не пользуясь нормальным уравнением прямой.

Решение.

Задача сводится к определению расстояния между точками и N, где N – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную прямую. Составим уравнение прямой MN. Так как угловой коэффициент заданной прямой равен - , то угловой коэффициент прямой MN равен (из условия перпендикулярности) и уравнение последней имеет вид . Это уравнение может быть переписано в виде .

Для определения координат точки N решим систему уравнений

, .

Введем вспомогательную неизвестную t:

.

Тогда , . Подставив эти выражения в уравнение данной прямой, получим , откуда

.

Подставив теперь значение t в уравнения , , определим координаты точки N:

, .

Остается определить расстояние между точками M и N:

Пример 3. Определить расстояние от точки до прямой , не пользуясь нормальным уравнением прямой.

Решение.

.

2.10. Смешанные задачи на прямую

Пример 1. Дана прямая l: . Какие из точек , , , , , лежат на этой прямой.

Решение.

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Имеем , так как ; , так как ; , так как ; , так как ; , так как ; , так как .

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной прямой .

Решение.

Разрешив последнее уравнение относительно у, получим . Следовательно, в силу условия параллельности угловой коэффициент искомой прямой равен . Воспользовавшись уравнением , получаем:

, т.е. .

Пример 3. Даны вершины треугольника , и . Составить уравнения медиан треугольника.

Решение.

Находим координаты середин сторон ВС, АС и АВ:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Уравнения медиан находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение медианы :

, или , т.е. .

Находим уравнение медианы : поскольку точки и имеют одинаковые абсциссы, медиана параллельна оси ординат. Ее уравнение .

Уравнение медианы : , или .

Пример 4. Даны вершины треугольника , и . Составить уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.

Решение.

По формуле найдем угловой коэффициент стороны АВ; имеем . В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины С, равен . Уравнение этой высоты имеет вид

, или .

Пример 5. Даны стороны треугольника (АВ), (ВС) и (АС). Найти длину высоты, проведенной из вершины В.

Решение.

Определим координаты точки В. Решая систему уравнений и , получим х = 1, у = 2, т.е. . Находим длину как расстояние от точки В до прямой АС:

.

Пример 6. Определить расстояние между параллельными прямыми и .

Решение.

Задача сводится к определению расстояния от произвольной точки одной прямой до другой прямой. Полагая, например, в уравнении первой прямой х = 0, получаем . Таким образом, - точка, лежащая на первой прямой. Определим расстояние точки М до второй прямой:

.

Пример 7. Даны вершины треугольника: А (1;1), В (10;13), С (13;6). Составить уравнение биссектрисы угла А.

Решение.

Пусть D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что . Но , . Следовательно, . Так как известно отношение, в котором точка D делит отрезок ВС, то координаты точки D определятся по формулам:

, ,

или , , т.е. . Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходящей через точки А и D:

, т.е. .

Пример 8. Даны уравнения высот треугольника АВС: , и координаты вершины: А (2;2). Составить уравнения сторон треугольника.

Решение.

Легко убедиться в том, что вершина А не лежит ни на одной из заданных высот: ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих высот.

Пусть - уравнение высоты и - уравнение высоты . Составим уравнение стороны АС, рассматривая ее как прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную высоте . Так как угловой коэффициент высоты равен 3, то угловой коэффициент стороны АС равен - , т.е. . Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент, получим уравнение стороны АС:

, или .

Аналогично получаем , , и уравнение стороны АВ имеет вид

, т.е. .

Решив совместно уравнения для прямых АВ и , а также прямых АС и , найдем координаты вершин треугольника: и . Остается составить уравнение стороны ВС:

, т.е. .

Пример 9. Найти прямую, принадлежащую пучку и проходящую через точку М (1;1).

Решение.

Координаты точки М должны удовлетворять уравнению искомой прямой, поэтому для определения  получаем уравнение

, или ,

т.е. . Подставив значение  в уравнение пучка, получим уравнение искомой прямой:

, или .

Пример 10. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых и и параллельную оси ординат.

Решение.

Прямая принадлежит пучку

, или .

Так как искомая параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен быть равен нулю: , т.е. . Остается подставить найденное значение  в уравнение пучка, откуда получаем искомое уравнение .

Пример 11. Даня стороны треугольника: (АВ), (ВС) и (АС). Составить уравнение высоты треугольника, опущенной на сторону АС.

Решение.

Высота принадлежит пучку

, или .

Угловой коэффициент прямой пучка равен ; так как угловой коэффициент прямой АС равен –1, то угловой коэффициент искомой высоты равен 1 и для определения  получаем уравнение . Отсюда , т.е. . Подставив найденное значение  в уравнение пучка, получим искомое уравнение высоты:

, т.е. .