Задания для самостоятельного решения

1. Даны точки М₁ (2;-2), М₂ (2;2), М₃ (2;-1), М₄ (3;-3), М₅ (5;-5), М₆ (3;-2). Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением , и какие не лежат на ней.

2. Установить, какие линии определяются уравнениями (построить их):

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) , где  и  - полярные координаты;

е) ; ж) ;

з) ; и) ;

к) ; л) .

3. Показать, что уравнение задает на плоскости некоторую окружность.

4. Составить уравнение множества точек, сумма квадратов расстояний которых от точек А (2;0) и В (0;2) равна квадрату расстояния между точками А и В.

5. Составить уравнение множества точек, сумма расстояний которых от точек А (1;0) и В (0;1) равна 2.

6. Написать уравнение линии, по которой движется точка М (х;у), равноудаленная от точек А (0;2) и В (4;-2).

7. Написать уравнение линии, по которой движется точка М (х;у), оставаясь вдвое дальше оси Ох, чем от оси Оу.

8. Написать уравнение множества точек, равноудаленных от оси Оу и точки F (4;0).

9. В полярной системе координат составить уравнение окружности с центром в полюсе.

10. В полярной системе координат составить уравнение полупрямой, проходящей через полюс и образующей с полярной осью угол .

11. В полярной системе координат составить уравнение окружности диаметра , если полюс лежит на окружности, а полярная ось проходит через центр окружности.

1.2. Параметрические уравнения линии

При отыскании уравнения множества точек иногда оказывается более удобным выразить координаты х и у произвольной точки этого множества через некоторую вспомогательную величину t (е называют параметром), т.е. рассматривать систему уравнений , . Такое представление искомой линии называется параметрическим, а уравнения системы – параметрическими уравнениями данной линии.

Исключение параметра t из системы (если оно возможно) приводит к уравнению, связывающему х и у, т.е. к обычному уравнению вида .

Пример 1. Составить параметрические уравнения окружности.

Решение.

Рассмотрим окружность радиуса α с центром в начале координат (см. рисунок). Возьмем на ней произвольную точку М (х;у). Примем за параметр t угол, образованный с осью абсцисс радиусом ОМ. Из треугольника ОМN следует, что , в .Таким образом, уравнения

, (1)

являются параметрическими уравнениями окружности.

Исключив из этих уравнений параметр t, получим обычное уравнение окружности. В данном случае для исключения параметра достаточно каждое из уравнений вознести в квадрат и полученные уравнения сложить: , т.е. . Последнее уравнение является уравнением окружности радиуса а с центром в начале координат.

Пример 2. Какая линия определяется параметрическими уравнениями , ?

Решение.

Исключая параметр t, приходим к уравнению . В силу параметрических уравнений , . Следовательно, данные параметрические уравнении определяют луч-биссектрису I координатного угла.

Пример 3. Какая линия определяется параметрическими уравнениями , ?

Решение.

Подставив х вместо cost во второе уравнение, получаем уравнение параболы . Из параметрических уравнений следует , . Таким образом, параметрические уравнения определяют дугу АОВ параболы , где А(-1;1), В(1;1).

Пример 4. Какая линия определяется уравнениями , ?

Решение.

Так как , то, исключив, t, получаем уравнение , выражающее обратную пропорциональную зависимость величин х, у. Учитывая, что , , заключаем, что линия, заданная параметрическими уравнениями , , имеет вид, изображенный на рисунке.