Задания для самостоятельного решения
1. Какая линия определяется уравнениями
,
?
2. Кривая задана параметрическими уравнениями , . Найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.
Указание. Разделить первое уравнение на а, второе – на b, а затем исключить t.
3. Кривая задана параметрическими
уравнениями
,
.
Найти ее уравнение в прямоугольной
системе координат.
4. Какая линия определяется уравнениями
,
?
5. Кривая, определяемая параметрическими
уравнениями
,
,
называется астроидой. Исключив t,
найти уравнение астроиды в прямоугольной
системе координат.
6. На круг, описанный из центра О радиусом а, навернута по часовой стрелке нить; пусть конец нити находится в точке А(а;0). Станем развертывать нить (против часовой стрелки), сматывая ее с круга и все время натягивая за конец. Составить параметрические уравнения кривой, описываемой концом нити, если за параметр t взять угол между радиусом ОА и радиусом ОВ, проведенным в точку касания окружности с натянутой нитью в произвольном положении последней.
2. Прямая
2.1. Общее уравнение прямой
Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида
(1)
(где А, В, С – постоянные коэффициенты,
причем
)
определяет на плоскости некоторую
прямую. Это уравнение называется общим
уравнением прямой.
Частные случаи.
1.
;
;
.
Прямая, определяемая уравнением
,
проходит через начало координат.
2.
;
;
.
Прямая, определяемая уравнением
(или
,
где
),
параллельная оси Ох.
3.
;
;
.
Прямая, определяемая уравнением
(или
,
где
),
параллельная оси Оу.
4.
;
.
Прямая, определяемая уравнением
(или
,
поскольку
),
совпадает с осью Оу.
5.
.
Прямая, определяемая уравнением
(или
,
поскольку
),
совпадает с осью Ох.
2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Если в общем уравнении прямой , то, разрешив его относительно у, получим уравнение вида
(2)
(здесь
,
).
Его называют уравнением прямой с
угловым коэффициентом, поскольку
,
где
- угол, образованный прямой с положительным
направлением оси Ох. Свободный член
уравнения b равен
ординате точки пересечения прямой с
осью Оу.
Пример 1. Составить уравнение прямой,
отсекающий на оси Оу отрезок b=3
и образующей с осью Ох угол
.
Решение.
Находим угловой коэффициент:
.
Подставляя k и
b в уравнение (1),
получаем искомое уравнение прямой:
или
.
2.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
(3)
Пример 1. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку М(2;1) и
образующей с осью Ох угол
.
Решение.
Находим угловой коэффициент:
.
Подставляя данные координаты и значение
в уравнение (3), получаем искомое уравнение
прямой:
или
.
2.4. Уравнение прямой проходящей через две данные точки и
Уравнение прямой, проходящей через точки и , записывается в виде
, (4)
и угловой коэффициент этой прямой находится по формуле
. (5)
Если
,
то уравнение прямой, проходящей через
точки
и
,
имеет вид
.
Если
,
то уравнение прямой, проходящей через
точки
и
,
имеет вид
.
Пример 1. Составить уравнение прямой,
проходящей через точки
и
.
Решение.
Подставляя данные координаты точек
и
в (4), получаем искомое уравнение прямой:
или
.
Пример 2. Составить уравнение прямой,
проходящей через точки
и
.
Решение.
Полагая
,
,
,
в уравнении (4), получаем
,
или
.
Итак, искомое уравнение имеет вид
.
Полезно проверить, что уравнение
составлено верно. Для этого достаточно
показать, что координаты точек M
и N удовлетворяют
уравнению прямой. Действительно,
равенства
,
выполняются тождественно.
Пример 3. Составить уравнение прямой,
проходящей через точки
и
.
Решение.
Так как
,
то прямая имеет уравнение
(параллельная оси ординат).