Лабораторная работа [укр. язык]1
.doc
Лабораторна робота №2
Варіант № 13
«Дослідження частотних характеристик імпульсних систем»
Мета роботи – навчитися будувати АЧХ імпульсної системи, визначити мінімальну частоту квантування, при якій імпульсна система еквівалентна безперервній.
Теоретичні відомості
Частотні характеристики імпульсних систем, як і частотні характеристики безперервних систем, використовують для аналізу стійкості та якості систем.
Частотні характеристики імпульсних систем отримують за допомогою підстановки (де Т0 – період квантування), яка аналогічна підстановці р = j у випадку безперервних систем. Відповідно до формули Ейлера підстановка матиме такий вид . Часто при побудові частотних характеристик імпульсних систем замість абсолютної частоти використовують відносну частоту = Т0. Тоді підстановка матиме такий вид . З наведених виразів видно, що частотні характеристики імпульсних систем мають періодичний характер і повторюються з частотою 0.
У зв’язку з використанням підстановки частотні характеристики імпульсних систем залежать від періоду квантування Т0. На рис. 4 зображені амплітудно-частотні характеристики імпульсної системи (передаточна функція безперервної частини має вигляд аперіодичної ланки першого порядку ). На рис. 4а зображено АЧХ системи при малому періоді квантування (висока частота квантування), а на рис. 4б – АЧХ імпульсної системи при великому періоді квантування (низька частота квантування). З рисунка 4 видно, що при низькій частоті квантування АЧХ імпульсної системи відрізняється від АЧХ безперервної частини системи. Тому при дослідженні таких імпульсних систем треба враховувати ефект квантування і користуватися дискретними передаточними функціями.
Якщо ж період квантування є досить малим (Т0 → 0, → ∞), вхідний дискретний сигнал сприймається системою як безперервний, а сама імпульсна система еквівалентна безперервній. Частотні характеристики такої імпульсної системи аналогічні частотним характеристикам безперервної частини системи, які повторюються з частотою 0 = 2π/Т0, або 2π.
Проте для еквівалентності імпульсної та безперервної систем частота квантування не обов’язково повинна бути нескінченно великою, достатньо виконання таких умов:
{
0 ≥ 2 бп,
f ≤ 0 – бп,
де 0 – частота квантування; бп – частота смуги пропускання безперервної частини системи; f – найбільша частота вхідного сигналу.
Наведені вище умови становлять теорему Котельникова-Шеннона.
Теорема Котельникова-Шеннона накладає обмеження на максимальну частоту квантування з точки зору втрати інформації про безперервний сигнал. Умовою відновлення безперервного сигналу U(t) з квантованого U*(t) є відсутність накладення сусідніх компонентів-доданків U*(jT). У цьому випадку АЧХ імпульсної системи в межах будь-якого періоду точно зберігає форму АЧХ безперервної частини. При виконанні умов теореми Котельникова-Шеннона інформація про безперервний сигнал U(t) може бути відновлена з імпульсного сигналу за допомогою фільтра низьких частот.
А(j)
А(j)
Рисунок 1 – Амплітудно-частотні характеристики імпульсної системи при різних періодах квантування
Хід роботи
Таблиця 1 – Параметри інтегруючої, аперіодичної та коливальної ланок
Номер варіанта |
Тк1 |
Тк2 |
Кк |
13 |
0,07 |
0,6 |
38 |
1. Запускаемо програму MATLAB, додаток Simulink
2. Для побудови амплітудно-частотної характеристики імпульсної системи збираємо схему (рис. 2)
W(p)
Рисунок 2– Схема імпульсної системи
Виставляємо параметри лінійної ланки з передаточною функцією у відповідності до свого варіанта (див. табл. 1).
Розв`язок рівняння залежить від постійних часу які визначаються відношенням (коефіцієнт затухання). Можна записати , де с. . У нашому випадку , тоді знаменник має два дійсних кореня . Маємо
Для формування вхідного сигналу використовуємо блок Step (сигнал прямокутної форми) з бібліотеки блоків Sources.
Імпульсний вхідний сигнал формуємо за допомогою трьох блоків: Pulse Generator (бібліотека Sources), Switch (бібліотека Signal Routing), Ground (бібліотека Sources).
Робота цих блоків зводиться до наступного. В блоці Switch встановлюється умова, при виконанні якої сигнал проходить через вхід 1 (вхід 3 відімкнений), якщо умова не виконується, то сигнал проходить через вхід 3 (вхід 1 відімкнений). Як правило, в блоці Switch встановлюється така умова (критерій): u2>=Threshold, де Threshold – значення, що встановлюється користувачем. Тобто, коли на вході 2 блока Switch присутній сигнал, значення якого більше значення Threshold, на виході перемикача присутній сигнал з першого входу; інакше на виході перемикача присутній сигнал з третього входу.
До другого входу перемикача підключається генератор імпульсів, за допомогою якого і формується послідовність імпульсів (тобто визначається, коли сигнал проходить через вхід 1 внаслідок виконання умови u2>=Threshold).
3. Побудуємо амплітудно-частотні характеристики імпульсної системи при різних частотах квантування (різній періодичності спрацювання перемикача).
Частоту квантування виставляємо в одному випадку більшою, ніж частота смуги пропускання лінійної ланки, в іншому – меншою. Частоти квантування підбираємо експериментально самостійно. Періодичність спрацювання перемикача (частота квантування) задається за допомогою блока Pulse Generator (генератор імпульсів). Для зміни частоти квантування в блоці Pulse Generator змінюємо значення параметра Period, який визначає періодичність надходження імпульсів на другий вхід перемикача.
У нашому випадку гранична частота або смуга пропускання безперервної частини системи 1/с. З теореми Котельникова - Шеннона (Якщо частота дискретизації або частота квантування сигналу більша або дорівнює подвійній граничній частоті (смуги пропускання безперервної частини системи) , то можна відновити попередній безперервний сигнал абсолютно точно) , Виберемо, для першого випадку, частоту квантування більшою за граничну частоту:
Для другого випадку частоту квантування виберемо меншою за граничну частоту,
Для побудови АЧХ в обох випадках (при різних частотах квантування) змінюємо частоту вхідного синусоїдального сигналу (блок Sine Wave, параметр Frequency). За отриманими осцилограмами визначаємо амплітуди вхідного і вихідного сигналів для різних значень частоти синусоїдального сигналу, значення амплітуд заносимо до таблиці 2.
Таблиця 2 – Дані для побудови АЧХ імпульсної системи
Частота квантування |
Частота вхідного сигналу |
Амплітуда вхідного сигналу |
Амплітуда вихідного сигналу |
Значення АЧХ |
125,6 |
1 |
1 |
3,4 |
3,4 |
2 |
1 |
2,7 |
2,7 |
|
3 |
1 |
2,1 |
2,1 |
|
4 |
1 |
1,6 |
1,6 |
|
5 |
1 |
1,2 |
1,2 |
|
6 |
1 |
0,98 |
0,98 |
|
7 |
1 |
0,8 |
0,8 |
|
8 |
1 |
0,6 |
0,6 |
|
9 |
1 |
0,5 |
0,5 |
|
10 |
1 |
0,45 |
0,45 |
|
11 |
1 |
0,38 |
0,38 |
|
16 |
1 |
0,2 |
0,2 |
|
20 |
1 |
0,14 |
0,14 |
|
30 |
1 |
0,07 |
0,07 |
|
40 |
1 |
0,04 |
0,04 |
|
55 |
1 |
0,032 |
0,032 |
|
70 |
1 |
0,032 |
0,032 |
|
85 |
1 |
0,04 |
0,04 |
|
95 |
1 |
0,07 |
0,07 |
|
105 |
1 |
0,13 |
0,13 |
|
110 |
1 |
0,21 |
0,21 |
|
113 |
1 |
0,3 |
0,3 |
|
114 |
1 |
0,35 |
0,35 |
|
115 |
1 |
0,4 |
0,4 |
|
116 |
1 |
0,47 |
0,47 |
|
117 |
1 |
0,56 |
0,56 |
|
118 |
1 |
0,68 |
0,68 |
|
119 |
1 |
0,83 |
0,83 |
|
120 |
1 |
1,03 |
1,03 |
|
121 |
1 |
1,3 |
1,3 |
|
122 |
1 |
1,7 |
1,7 |
|
123 |
1 |
2,2 |
2,2 |
|
124 |
1 |
2,9 |
2,9 |
|
125 |
1 |
3,5 |
3,5 |
|
12,56 |
1 |
1 |
2,77 |
2,77 |
2 |
1 |
2,37 |
2,37 |
|
3 |
1 |
2 |
2 |
|
4 |
1 |
1,76 |
1,76 |
|
5 |
1 |
1,47 |
1,47 |
|
6 |
1 |
1,40 |
1,40 |
|
7 |
1 |
1,42 |
1,42 |
|
8 |
1 |
1,52 |
1,52 |
|
9 |
1 |
1,72 |
1,72 |
|
10 |
1 |
2,04 |
2,04 |
|
11 |
1 |
2,47 |
2,47 |
|
12 |
1 |
2,89 |
2,89 |
|
13 |
1 |
2,92 |
2,92 |
|
14 |
1 |
2,57 |
2,57 |
|
15 |
1 |
2,17 |
2,17 |
|
16 |
1 |
1,9 |
1,9 |
|
17 |
1 |
1,5 |
1,5 |
4. За даними таблиці 2 будуємо АЧХ імпульсної системи для двох випадків (в одному випадку частота квантування більша за подвоєну частоту смуги пропускання безперервної частини системи, в іншому – менша).
На рис. 3 зображено АЧХ імпульсної системи при частоті квантування більшою за подвоєну частоту смуги пропускання безперервної частини системи ( (1/с.)):
Рисунок 3 – АЧХ імпульсної системи при (1/с.)
На рис. 4 зображено АЧХ імпульсної системи при частоті квантування меншою за подвоєну частоту смуги пропускання безперервної частини системи ( (1/с.)):
Рисунок 4 – АЧХ імпульсної системи при (1/с.)
5. За даними експериментів визначаємо мінімальну частоту квантування, при якій імпульсна система еквівалентна безперервній (при якій відсутнє накладення сусідніх компонент частотної характеристики).
За теоремою Котельникова – Шеннона , користуючись розрахунком розділу 3, (1/с.) ,мінімальна частота дискретизації або частота квантування . При цій частоті квантування імпульсна система еквівалентна безперервній.
ВИСНОВОК:
Навчилися будувати АЧХ імпульсної системи, визначати мінімальну частоту квантування, при якій імпульсна система еквівалентна безперервній.
Міністерство освіти і науки України
Сумський державний університет
Лабораторних робота № 2
з дисципліни
“Теорія автоматичного управління”
Виконав студент
Групи
Перевірив
Суми 2007