4. Некоторые особенности моделирования сау

4.1 Уравнения состояния непрерывных динамических систем

Уравнения состояния для динамического объекта, имеющего один входной сигнал u и один выходной сигналy, могут быть записаны в виде

(4.1)

где

, (4.2)

а - транспонированный по отношению к векторувектор.

Отметим, что в (4.1) d=0, если порядок полинома числителя передаточной функции системы меньше порядка полинома знаменателя, т. е. коэффициент прямой передачи со входа на выход равен нулю.

Чаще всего в качестве переменных состояния принимается выходной сигнал и (n-1) его производных. Преимущества такого подхода – простота представления результатов. Кроме того, такое представление возможно для нелинейного дифференциального уравнения общего вида. Такая форма представления – нормальная форма или форма Коши.

В качестве примера представим в нормальной форме Коши линейный динамический элемент (объект управления), описываемый передаточной функцией:

(4.3)

Здесь передаточная функция представлена в операторной форме; p=d/dt – оператор дифференцирования; для упрощения выражений примемa₀=1.

В соответствии с нормальной формой переменные состояния будут

(4.4)

Уравнения (4.4) можно записать в матричной форме (4.1), где

(4.5)

Причём, a₀=1.

Начальное состояние рассматриваемого динамического элемента определяется значением вектора x(0).

В случае, когда передаточная функция динамического элемента имеет более общий вид:

(4.6)

матрица A имеет тот же вид (4.5), а матрица (вектор-столбец)bбудет

(4.7)

где

(4.8)

а выходной сигнал

(4.9)

Таким образом, в (4.1) d=k₀=b₀.

В тех случаях, когда порядок полинома числителя меньше порядка полинома знаменателя получаем, как и раньше,

В общем случае для многомерных стационарных динамических систем (например, многосвязных объектов управления) уравнения состояния в нормальной форме Коши имеют вид

(4.10)

Найдём связь между описанием в пространстве состояний и описанием в виде матричной передаточной функции многомерной динамической системы.

Обозначим через n-мерный вектор состояния в области изображений Лапласа; через-r-мерный вектор входных сигналов и-m-мерный вектор выходных координат рассматриваемой системы. Соотношение между этими векторами устанавливается передаточными матрицамиразмерасоответственно:

(4.11)

(4.12)

Откуда следует, что элемент матрицыпредставляет собой изображение по Лапласу импульсной переходной функции поi-й координате состояния относительноj-го входного сигнала при равенстве нулю всех других входных сигналов.

При нулевых начальных условиях, применив к (4.10) преобразование Лапласа, получим

и далее

В соответствии с (3.32) и (3.33) получим

(4.13)

(4.14)

где - обратная матрица по отношению к матрице.

4.2 Особенности математического описания линейных дискретных систем

В противоположность непрерывным сигналам, которые описываются непрерывными функциями времени, дискретные сигналы могут принимать лишь дискретные значения в дискретные моменты времени. Они представляют собой последовательности импульсов, появляющихся в определенные моменты времени. Обычно дискретный сигнал получается в результате периодического прерывания непрерывного сигнала с постоянным тактом.

Для получения разностного уравнения достаточно любую дискретную функцию, зависящую от другой дискретной функции, представить в рекуррентной форме. Линейное разностное уравнение порядка nимеет вид

(4.15)

Здесь аргумент (- такт квантования по времени) заменен индексомk. Величину выходного сигнала при любомkможно вычислить с помощью рекуррентной формулы

(4.16)

если известны текущее значение входа ипредшествующих значений, а также соответствующие значения выхода –.

На основе (3.15) можно записать дискретную передаточную функцию, используя теорему z-преобразования о сдвиге вправо

(4.17)

После подстановки в разностное уравнение (4.15) индексов, изменяющихся от kдо k+n, получим

(4.18)

Последнее равносильно представлению (3.38) в виде

(4.19)

Переход к описанию дискретной системы в пространстве состояний может осуществляться различными способами. Один из самых простых заключается в прямой подстановке переменных состояния в разностное уравнение (4.18):

(4.20)

(4.21)

Подставим выражение (4.21) в уравнение (4.18), положив

(4.22)

Это соотношение можно представить в форме векторного разностного уравнения

и уравнения выхода

Обозначим вектор переменных состояния x, матрицу системыA, вектор передачи управления (входного сигнала)bи вектор наблюденияc:

(4.23)

(4.24)

Если то уравнения (4.19) и (4.20) можно представить в форме

(4.25)

Если же уравнения (4.19) и (4.20) приводятся к виду

или

(4.26)

Кроме того, используя уравнение (4.21), можно получить выражение

(4.27)

Определив из соотношения (4.22), получаем окончательный результат

(4.28)

Это обобщённое уравнение выхода можно также записать в векторной форме:

или

(4.29)

При =1, т. е. для систем без прямой передачи входного воздействия, уравнение (4.29) приобретает вид

Распространяя представление линейных дискретных систем с одним входом и одним выходом в пространстве состояний на линейные многомерные системы с r входамиu(k) иmвыходамиy(k), получим следующие матричные уравнения:

(4.31)

(4.32)

где x(k) – вектор состояния размерности- вектор управления (входов) размерности;y(k)– вектор выхода размерности;A – собственная матрица системы размерности;B– матрица управления размерности;C – матрица выхода (измерений) размерности;D –матрица входа/выхода (прямой передачи) размерности.