Приближенное оценивание погрешности

Однократные измерения. Подавляющее большинство технических измерений являются однократными. Выполнение однократных измерений обосновывают следующими факторами :

- производственной необходимостью (разрушение образца, невозмож-

ность повторения измерения, экономическая целесообразность и т.д.);

- возможностью пренебрежения случайными погрешностями;

- случайные погрешности существенны, но доверительная граница погрешности результата измерения не превышает допускаемой погрешности измерений.

За результат однократного измерения принимают одно-единственное значение отсчета показания прибора. Будучи по сути дела случайным, однократный отсчет х включает в себя инструментальную, методическую и личную составляющие погрешности измерения, в каждой из которой могут быть выделены систематические и случайные составляющие погрешности.

При измерении с точным оцениванием погрешности проблема заключается в выявлении и оценке систематических и случайных составляющих погрешности полученного отсчета х с последующим их раздельным суммированием.

При измерении с приближенным оцениванием погрешности оценивание погрешностей производится на основе нормативных данных о свойствах используемых средств измерений (пределов допускаемой основной и дополнительной погрешностей). Такие оценки хотя и грубо, но все же дают возможность оценить погрешность.

В результате для приближенного оценивания погрешности измерения необходимы сведения о погрешностях (основной и дополнительной) средств измерений. Методические погрешности должны быть учтены заранее. Личные погрешности при однократных измерениях предполагаются малыми и их не учитывают.

Косвенные измерения. При косвенных измерениях искомое значение величины находят расчетом на основе прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной известной зависимостью

у = f (х₁, х₂, …, х_n), (4)

где х₁, х₂,…, х_n – подлежащие прямым измерениям аргументы функции у.

Результатом косвенного измерения является оценка величины у, которую находят подстановкой в формулу (4) измеренных значений аргументов х_i .

Поскольку каждый из аргументов х_i измеряется с некоторой погрешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Однако особенность косвенных измерений состоит в том, что вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции (4).

Для оценки погрешностей существенно разделение косвенных измерений на линейные и нелинейные косвенные измерения.

При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид

у = , (5)

где – постоянные коэффициенты при аргументах х_i .

Результат линейного косвенного измерения вычисляют по формуле (5), подставляя в неё измеренные значения аргументов.

Погрешности измерения аргументов х_i могут быть заданы своими границами .

При малом числе аргументов (меньше пяти) простая оценка погрешности результата получается простым суммированием предельных погрешностей (без учета знака), т.е. подстановкой границ х₁, х₂,…, х_n в выражение

= х₁ + х₂ +…+ х_n (6)

Однако эта оценка является излишне завышенной, поскольку такое суммирование фактически означает, что погрешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальное значение и совпадают по знаку. Вероятность такого совпадения практически равна нулю. Для нахождения более реалистичной оценки переходят к статическому суммированию погрешности аргументов по формуле

= k , (7)

где k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,9 k = 1,0; Р = 0,95 k = 1,1; Р=0,99 k = 1,4).

Нелинейные косвенные измерения – любые другие функциональные зависимости, отличные от у = .

При сложной функции (4) и в особенности если это функция нескольких аргументов, определение закона распределения погрешности результата связано со значительными математическими трудностями. Поэтому в основе приближенного оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции (4) и дальнейшая обработка результатов, как при линейных измерениях.

Запишем выражение для полного дифференциала функции у через частные производные по аргументам х_i:

(8)

По определению полный дифференциал функции – это приращение функции, вызванное малыми приращениями её аргументов.

Учитывая, что погрешности измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными значениями аргументов, можно заменить в формуле (8) дифференциалы аргументов на погрешность измерений , а дифференциал функции на погрешность результата измерения :

(9)

Если проанализировать формулу (9), по можно получить простое правило оценивания погрешности результата нелинейного косвенного измерения .

Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значения х_1, х₂,…, х_i используются для вычисления у = или у = , то

суммируются относительные погрешности ,

где

Цель работы:

• освоение методов проведения однократных прямых и косвенных изме-

рений;

• усвоение правил обработки, представления (записи) и интерпретации

результатов проведенных измерений;

• приобретение практических навыков применения различных по точнос-

ти средств измерений, а также анализа и сопоставления точности результатов косвенных измерений с точностью средств измерений, используемых при проведении прямых измерений;

• выявление возможных источников и причин методических погрешнос-

тей;

- закрепление теоретического материала по курсу «Метрология» изучаемой дисциплины «Метрология, стандартизация и сертификация».

Используемее оборудование:

- цилиндры;

- штангенциркуль;

- микрометр;

- линейка.

Программа работы:

1 Произвести однократные измерения диаметра сечения и высоты цилиндра средствами измерений различной точности. Результаты измерений записать в таблицу 1.

Таблица 1 – Результаты измерений

Объект измерения	Средство измерений	Диаметр			Высота			Объем
		, мм	, мм	,	, мм	, мм	,	, мм3	, мм3	,
Цилиндр 1	Штанген-циркуль		0,1			0,1
	Микро-метр		0,005			0,005
Цилиндр 2	Штанген-циркуль		0,1			0,1
	Линейка		0,5			0,5

2 Определить объём цилиндра, используя теоретическое соотношение:

V_изм. = мм³, (10)

где: = 3,14… - числовой коэффициент;

d – диаметр сечения цилиндра, мм;

h – высота цилиндра, мм.

3 Определить относительную погрешность измерений, выраженную в относительных единицах

= (11)

4 Определить погрешность вычисления объема по формуле

V_изм (12)

5 Округлить погрешности измерений в соответствии с МИ 1317, согласовать числовые значения результата вычислений с округленной погрешностью измерений и записать результат измерений объёмов цилиндров

V= (V_изм V) (13)

6 По полученным результатам измерений сделать поясняющие рисунки.

7 По результатам проведенной работы оформить отчет и сделать вывод.