§3. Полнота исчисления высказываний
1. Мотивировка
С самого момента изобретения дедуктивного метода (то есть – со времён Евклида, а не Шерлока Холмса! ) математики мечтали установить важнейший факт: любое истинное утверждение может быть доказано. Нельзя сказать, что в противном случае математика стала бы намного менее осмысленным занятием, но, занимаясь поисками доказательства некоторого (допустим – откуда-то известно, что верного) утверждения крайне приятно было бы знать, что таковое существует. С точки зрения моделирования процесса человеческого мышления этот факт означал бы что «до всякой правды можно додуматься».
Жизнь показала, что во многих случаях всё сложнее, но иногда этот факт всё-таки имеет место. В этом случае говорят, что в рассматриваемой ситуации имеет место теорема о полноте соответствующего исчисления. В этом параграфе будет показано, что для исчисления высказываний теорема о полноте верна. Итак, имеет место теорема.
Теорема 3.1. (Теорема о полноте исчисления высказываний)
Формула выводима
в исчислении высказываний тогда и только
тогда, когда она является тавтологией.
Символически:
.
Первое доказательство
Естественно
предположить, что имеет место более
сильное утверждение:
.
В одну сторону это утверждение даже
доказано (теорема 2.2), поэтому достаточно
проверить импликации
и
(*).
Позднее мы покажем, что импликация (*) действительно верна. Однако простейшее доказательство теоремы о полноте основано на её более изысканном аналоге.
Определение 3.1.
Пусть
,
q
– формула. Положим
.
Лемма 3.2. Пусть
q
– формула, содержащая переменные
.
Тогда для любых
если
есть значение, которое формула q,
принимает, если значения переменных
суть
,
то
.
Замечание.
Родство сформулированного утверждения
с гипотезой (*) несомненно, но описанное
свойство всё-таки «информативнее»
семантического следования (утверждается,
что из формул
обязательно
что-нибудь выводится: иногда это, как в
доказываемой теореме, формула q,
а иногда, когда это невозможно, – из них
выводится «вместо неё» формула
).
С другой стороны, это свойство если и
переносится на случай, когда в левой
части стоят более сложные формулы, то
с некоторыми сложностями.
Доказательство
леммы можно
провести индукцией по множеству формул.
Индукционный переход состоит в
доказательстве большого количества
однотипных выводимостей, представляющих
собой синтаксические аналоги определений
соответствующих булевых функций:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Для примера приведём некоторые выводы.
а) Первая выводимость:
– посылка;
– аксиома (А5);
– правило МР;
–
посылка;
– правило МР.
б)
Во многих случаях построение выводов
основано на одной из «дробей», приведённых
в замечании к лемме о дедукции, именно
– на правиле
.
Докажем это правило.
Согласно лемме о
дедукции, если
,
то
.
Пусть
– соответствующий вывод. Аналогично,
если
,
то
,
соответствующий вывод обозначим
.
Напишем второй вывод после первого и
добавим к получившемуся выводу ещё три
строки:
– Аксиома (А10);
– правило МР;
– правило МР.
в)
Докажем выводимость
,
которая заменяет две указанные выводимости
(какие?). Согласно предыдущему пункту,
для этого достаточно вывести из посылок
и
две формулы вида r
и
.
В качестве таковых подойдут, например,
формулы p
и
.
Вторая формула – просто одна из посылок,
первая выводится так:
– посылка;
– аксиома (А3);
– правило МР.
г)
Докажем ещё одно правило из замечания
к лемме о дедукции, именно –
.
Согласно лемме о дедукции, если
,
то
.
Пусть
– соответствующий вывод. Аналогично,
если
,
то
,
соответствующий вывод обозначим
.
Напишем второй вывод после первого и
добавим к получившемуся выводу ещё пять
строк:
– Аксиома (А8);
– правило МР;
– правило МР;
– посылка;
– правило МР.
д)
Докажем ещё одно правило: для любой
формулы
,
то есть из
противоречивых посылок можно вывести
всё что угодно.
Действительно, добавим к двум
соответствующим выводам три строки:
– аксиома (А9);
– правило МР;
– правило МР.
е)
Докажем выводимость
.
Для этого достаточно вывести из трёх
посылок
,
и
две противоречащие друг другу формулы
(или доказать их выводимости). Заметим,
что всё что угодно можно вывести из двух
других троек:
,
,
и
,
,
.
Осталось воспользоваться пунктом г
(как именно?).
Итак, можно считать, что все требуемые выводимости доказаны. Для завершения доказательства леммы осталось заметить, что любая формула имеет некоторую «самую внешнюю» операцию, которую одна из выводимостей позволяет снять, сведя выводимость рассматриваемой формулы к выводимостям для более простых формул (которые можно считать доказанными по индукционному предположению). В конце концов выводимость данной тавтологии сведётся к выводимостям для тривиальных формул вида y (переменная). Все такие выводы тривиальны.
QED
Доказанная лемма показывает, как можно построить доказательство любой тавтологии. Для этого достаточно:
а) пользуясь доказанными правилами, построить выводы рассматриваемой тавтологии из всевозможных наборов посылок ;
б)
разбить все выводы на пары, отличающиеся,
единственно, посылкой, относящейся к
первой переменной (в первом выводе пары
использована посылка
,
а во втором –
);
в) пользуясь пунктом г доказательства леммы, объединить эти пары в выводы, не содержащие посылок, относящихся к первой переменной;
г) поступить аналогично с остальными переменными по очереди.
Ясно, что в конце процедуры будет получен вывод без посылок, т.е. обыкновенное доказательство.
QED
Замечания. (1) Предъявленное доказательство – конструктивное. Оно показывает, как можно построить доказательство любой тавтологии (правда, способ построения ужасен ).
(2) В том случае, когда доказываемое утверждение (например, по ошибке) тавтологией не является, это обстоятельство обнаружится при построении доказательства, а не будет выступать как «непонятное препятствие», «почему-то не позволяющее построить» требуемое доказательство .
(3) Рассмотренное доказательство полезно сравнить с примером, рассмотренным в §1 и с материалом следующего параграфа.